中学数学の問題です。

質問

答えはわかっていますが、解き方がわからないものです。

[問題]
図のように、1段目に１個、２段目に３個、3段目には5個・・・という規則に従って、奇数個のご石を順に置いていく。
この時次の各問の答えとして正しいものをア～オの中から１つ選び、記号で答えなさい。

(1)14段目までご石を並べた時、全部で何個のご石を使うか求めなさい。（答え）196個
(2)n段目から25段目のご石の合計が225個である。このとき、nにあてはまる数を求めなさい。（答え）21

原始的に絵を描いていけば、答えは出るのですが、式がわかりません。1列の数だけなら
1+2(n-1)のようなものも思いついたのですが、それ以上はフリーズしてしまいました。
ご解説をよろしくお願いたします。

回答No.2

Hoffman2 · ベストアンサー

法則性の問題ですね。
　　　　　n段目にある碁石　n段目までの碁石の合計
1段目：１　　　　　　　　　　　1
2段目：3　　　　　　　　　　　1+3=4
3段目：5　　　　　　　　　　　1+3+5=9
・・・
ここで、この法則に気が付くかどうかです。n段目までの碁石の合計数はnの2乗になっているということです。ここでは便宜的にn＾2と書きます。
まあ、ここでこの法則に気が付けば(1)、(2)の問題も解けますよね。
一応、
(1)14^2=14×14=196
(2)25段目までの碁石の合計を求めます。　
　　25^2=25×25=625
　次に、n段目から25段目のご石の合計が225個になるようにｎを求めるので、つまり、n-1段目までの碁石の合計数は、625-225＝400となります。
(n-1)^2=400
この方程式を解くとn=±21となりますが、nは自然数なのでn=21となります。

お礼

＞この法則に気が付くかどうか

なるほど～。目からうろこが落ちました！

とてもシンプルに出せますね。

教えていただいてありがとうございました。

回答No.5

staratras

No..４です。最後の文の誤記を訂正します。失礼しました。

誤：２）は25段目までの個数から、ｎ段めまでの個数を引いた数が２２５個ということから求められます。

正：２）は25段目までの個数から、（ｎ-1）段めまでの個数を引いた数が２２５個ということから求められます。

お礼

了解しました！

回答No.4

staratras

下の図のように、ご質問に添付された図を真ん中から上に折り返して考えると分かり易いでしょう。

２段め以降すべて一回りずつ大きな正方形を作っていきます。それまでに並べた個数は、２段目までで２×２＝４(個)、3段目までで３×３＝９(個)、というように増えて、ｎ段めまでではｎ×ｎ＝ｎ2乗（個）です。」

ここまで分かれば、１）は明かでしょう。
２）は25段目までの個数から、ｎ段めまでの個数を引いた数が２２５個ということから求められます。

お礼

このように考えると２乗となっているのがよくわかりますね。

なるほど。

これで解けそうです。

ありがとうございました！

回答No.3

SPS700

１。　この図を見ると、上が小さく、下に行くほど大きくなります。

２。　同じ図を書いて、上下逆にします。そうして下の図と逆にした写しを合わせます。

３。　そうすると上から下まで同じ数の石が各段に並びます。

４。各段の石の数
　１段目は、１（段目の数）x２－１＝１（石の数）
　２段目は、２（段目の数）x２－１＝３（石の数）
　３段目は、３（段目の数）x２－１＝５（石の数）
　　n 段目は、　n　x　2　-　1（n 段目の石の数）

５。（１）を解く
　一番目と１４番目の石を合計する
　１＋（14　x　２）－１＝２８　
　１４段あるから１４倍する
　２８x１４＝３９２
　これではおシリでっかちと頭でっかちを足した数だから２で割る
　３９２➗２＝１９６　（答え）

６。（２）はご自分でどうぞ

お礼

四角く考えて２で割るということですね。

とてもよくわかりました。

ありがとうございました。

回答No.1

f272

(1)
14段目までなら
1段目のご石の数+15段目のご石の数=1+27=28
2段目のご石の数+14段目のご石の数=3+25=28
3段目のご石の数+13段目のご石の数=5+23=28
と考えていけばよい。答えは28*14/2=196となるのは簡単。

1列の数だけなら1+2(n-1)とわかったのなら，n段目までまでの全部のご石の数でも，同じように考えて計算できる。(1+1+2(n-1))*n/2=n^2
(2)
結局，25^2-(n-1)^2=225をとけばよい。
(n-1)^2=25^2-225=625-225=400
n-1=20 (n-1=-20は不適当)
n=21

お礼

正方形のように出して２で割るのと２乗で出すやり方の混合ですね。

思いも浮かばないやりかたでした。

ありがとうございました。