算数の問題です（小５）

質問

次の問題を子供に尋ねられて困っています。

１００個のドアがあり、１００人の子供がいます。
１００個のドアと１００人の子供達にはそれぞれ１～１００までの番号が付いています。この条件で次の作業を行いなさい。但し、最初は全てのドアが閉まっています。

＜作業＞
子供達は自分の番号の倍数の付いたドアの状態を変えていきます。たとえば２３番の子供は『２３・４６・６９・９２』のドアの状態を変えていきます。ここで言う“ドアの状態を変える”とは、「開いているときは閉めて、しまっているときは開ける」ことを言います。

１００人の子供がすべて作業を終えたとき、１００個のドアの状態について次の問いに答えなさい。

（１）１３番目のドアは開いていますか、閉まっていますか。
（２）３６番目のドアは開いていますか、閉まっていますか。
（３）１番目から１００番目までのドアで開いているドアは何個ありますか。

上記の問題で初めの２問は何とかなるのですが、３つ目の問題に手こずっています。宜しく御願いします。

回答No.3

noname#80576 · ベストアンサー

（１）と（２）はそれぞれ１３と３６の約数を考えればわかりますね。
（３）ですが、
　まず、ドアの状態を変える人がが偶数なら、最終的にドアはしまってますね。奇数なら、あいています。ここでは、それぞれの数について約数を考えるんだと思います。この問題は、たぶん倍数の問題ではなく、約数の問題です。
　ここで、開いているドアの番号の約数は奇数個になることに注目します。約数の求め方を考えると、まず、１０で考えてみましょう。まず１が出てきます。そうしたら次は１０を答えとして選びますね（１０÷１＝１０）次は２と５。３・４と約数じゃなく飛ばして、５はもう出てきているのでここで終了です。約数が偶数個出てきたので１０のドアは閉まっていますね。
　ここで考えてほしいのは、約数は必ず２つペアで出てくると言うことです。と言うことは同じ数を２回かけた数ならどうでしょう。
　１６で考えると１と１６、２と８、４と４ですね。ここで最後の４と４に注目してください。これは４１つと考えるので、結果１６の約数は奇数個となり、１６のドアは開いています。
　すなわち何かの２乗の数となっているドアは、開いているということです。
　この問題では１×１＝１　２×２＝４　３×３＝９　・・・・・・　９×９＝８１　１０×１０＝１００までの１０個のドアが開いていることになります。

　こんな感じでいかかでしょうか。ずらずらと長くなってしまって申し訳ありません。２乗のところは小学生はわからないので、同じ数を２回かけるとでも言いかえて教えてあげてください。

お礼

早速解りやすい説明付きで解答を頂き、誠に有り難う御座いました。早速娘に教えてやりたいと思います。本当に有り難う御座います。

回答No.4

noname#80576

ANo.3のものです。補足というかなんでしょう…。

　私が回答を打っている間に、sunasearchさんが回答していたみたいで、ダブってしまいましたね…。すみません。まあ、私の回答も見ていただけると嬉しいです。
　それでは、お騒がせいたしました。

回答No.2

sunasearch

開いているドアは、
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100の１０個になります。

この問題は約数を考えます。

すべての番号は自分と、１番の人が状態を変えます。
すなわち、１×（自分の数）です。
これだと、２回の操作なので、ドアは閉まったままです。

それ以外に割り切れる数があれば、割られた結果の数がありますので、これらがペアになります。
例）１５＝３×５、
　　２４＝２×１２、３×８、４×６

ペアができれば、２回状態が変えられるので、
ドアは閉まったままです。

そこで、例外があって、
９＝３×３、１６＝４×４のように、
同じ数の掛け算がペアになった場合は、
３番、４番の人は１回だけ開けるので、
これらに該当する、同じ数の掛け算になる数字のドアだけ、開くことになります。

お礼

早速解りやすい説明付きで解答を頂き、誠に有り難う御座いました。早速娘に教えてやりたいと思います。本当に有り難う御座います。

回答No.1

kurousako

こんにちは。
倍数に関係してくるんですよね。
（１）（２）は何とかなりますね。（３）は１から１００まで、全部シミュレーションせずに説く方法があるんですよね、きっと。
ヒントほしいですね。
教科書の問題なんでしょうか。だとすると、どの分野に載っている問題なんでしょうか。また、その分野に方程式のような公式の勉強はありませんでしたか？
あーーー気になる。今晩、家族でトライしてみます。