集合についての極限操作

質問

数の極限操作については順序を交換できるとは限らないことは皆さんご存じかと思います。例えば
　絶対収束しない級数は和の順序を変えて良いとは限らない。
　一様収束しない関数列は積分と関数列の極限の順序を変えて良いとは限らない。
　一階導関数が連続でなければ偏微分の順序を変えて良いとは限らない
などです。集合列の極限についても同じような制限はあるのでしょうか。例えば，Gμを自然数の集合Nの任意の分割とするとき
　∪An = ∪{μ}∪{λ∈Gμ}Aλ　?
というようなことです。
　lim sup An ∩ lim sup Bn ⊃ lim sup(An∩Bn)
で、⊃を=で置き換えられない例は見つけました。

回答No.2

graphaffine

grothendieckさん、３日ぶりです。
前回は貴兄に引きずられてピント外れのことを
書いてしまったので訂正します。と言っても、
今回も自信無しですが。
まず、極限と言う言葉の意味ですが通常は点列や
関数列などに用いるもので台集合の位相構造に裏付けられた概念ですよね。
それに対して集合列にはそのような裏付けが有りませんから極限と言う言葉は単なる形式的類似性の為に使用しているだけで本質は集合演算だけの話になると思います。

＞　lim sup An ∩ lim sup Bn ⊃ lim sup(An∩Bn)
＞で、⊃を=で置き換えられない例は見つけました。

詳しい状況は分かりませんが、単なる集合演算と言う観点からの説明はつかないのでしょうか。

回答No.1

graphaffine

grothendieckさん、こんにちは。
＞∪An = ∪{μ}∪{λ∈Gμ}Aλ　
これは問題ないと思います。そもそも添数集合が
順序集合でないことも良くある話でこの場合は
順序云々は意味が無いですよね。
＞lim sup An ∩ lim sup Bn ⊃ lim sup(An∩Bn)
これは二つの集合操作に関わることですから話が別だと
思います。で、多分一般的には交換不可でしょうね。
交換不可だから帰納的極限や射影的適極限という概念が意味を持ってくるのでしょうが、この辺は自信無しです。

参考の為、集合列の上極限の定義を教えてもらえますか。

お礼

御回答ありがとうございます。集合列の上極限は、
　lim sup An = ∩{m=1～∞}∪{n=m～∞}An
で定義されています。測度論などに出てくるようです。

補足

質問文のなかで「一階導関数が連続でなければ偏微分の順序が交換できない」は「二階導関数fxyとfyxがともに連続でなければ、fxy=fyxとは限らない」に訂正させて頂きます。