数学αの二次不等式の問題が分かりませんｗ

質問

次の放物線が直線より上方にあるように、定数kの値の範囲を定めよ。
y=kx^2 , y=2x-k (k≠0)

kx^2＞2x-k

までは分かるんですが、そこからどうしていいか分かりません。
左辺にkをもってきても、右辺にkとxが残るし…

誰か教えてください！

回答No.4

hinecchi · ベストアンサー

>　　数学α
　　全国的には、「高等学校数学I」ですよね。その範囲でヒント（解き方）を。

>　　kx^2＞2x-k　　までは分かるんですが、

　残念ながら、その式が出たからといって、「解き方が（途中まで）分かっている」とはいえません。
単に、「上方にある」状態を不等式で表すことができているだけです。
（このまま進めても、解けないということ。）

［少し脇へそれます］
そのまま進めるなら、左辺にｋ（だけ）を持ってくるのではなく、

ｋを左辺に移項して整理　　　k ( x^2 + 1 ) ＞2x
　x^2+1≠0 より 　　　　 k 　＞2x / ( x^2 + 1 )

として、この右辺を　ｙ＝　とおいてグラフを描き、最大値を求め、（数学IIIレベル）
その値よりｋが大であればよい。

［もどります］

数Iで、放物線と直線の位置関係について、「上方にある」というキーワードは、
「共有点を持たない」と翻訳してください。（「下方にある」も同じ）

すると、判別式Dを作って、D＜０　という不等式を導き、
その不等式（文字はｋしか含まれていない）を解くと、
「共有点を持たないとき」のｋの範囲が導き出せます。

「共有点を持たない」ときというのは、「上方」か「下方」のどちらかですので、
ｋ＜０の時は、「下方」になり不適　として省くと、残りのｋの範囲が答になります。

補足
この説明の内容（特に判別式）がよく分からないなら、とりあえず今すぐ
この問題を解くのはあきらめて、もう少し判別式のあたりの基礎問題を
やってから、再度チャレンジしてみてください。

お礼

なるほど…

共有点をもたないからD＜０とおくんですね！

よく分かりました。

数学もっと頑張りますｗ

ありがとうございました。

回答No.3

469437

＞左辺にkをもってきても、右辺にkとxが残るし…

言っている意味がわかりませんが、解法を出しておきます。
まず、不等式にしたのが間違いではないのでしょうか。

まずグラフ上で
ｙ＝kx^2は(０、０)
ｙ＝２ｘ－ｋは(０、－ｋ)
を通るので、ｋ＜０はありえません。

よってｋ＞０となります。・・・(１)

あとは、グラフ上で
kx^2＝2x-k
とならない条件を求めれば良いと思います。↑の右辺を移項すると
ｋｘ^２－２ｘ＋ｋ＝０
となるわけですが、これは
ｋ(ｘ＋Ａ)(ｘ＋Ｂ)＝０
のように公式から因数分解できます。
このときＡとＢはｋの方程式になっているはずですが、
これが実数であるということは、２式はグラフ上で交点があるということで、
逆にＡとＢが複素数であれば交点が存在しないということになります。・・・(２)

ということで、(１)と(２)を成立させるｋの値を出せばよいと思います。

あとは自分で解きましょう。

お礼

なるほど…

むずいっすｗ
数学もっと頑張ります。

ありがとうございました！！

回答No.2

mimihoshi

高校数学ですよね？数学からかなり離れてるので自身ありませんが……
kx^2＞2x-k (k≠0)
⇔kx^2-2x+k>0 (k≠0)
を解くためにまずグラフを書いてみましょう。
説明の為にf(x)=kx^2-2x+kとおきます。
X座標の上に下に凸（Ｕの形）のグラフが書けると思います。
なぜならそうならないとf(x)のグラフが常に0より大きくなりません。
ではそうなるためにはどんな条件が必要になるか考えてみましょう。
(1)k>0
(2)解の公式のルートの中<0
を解けばいいのでは？
(1)は下に凸になるための条件。(2)はf(x)がx座標と接点を持たないための条件。
(2)を解くと、
4-4k^2<0
⇔k^2-1>0
⇔(k+1)(k-1)>0
⇔k<-1, k>1
これと(1)を合わせると
k>1
うろ覚えの知識でやったので、もう一度貴方様で考えてみてください(>_<)
頑張って(⌒∇⌒)

お礼

なるほど…

共有点をもたないからD＜０とおくんですね！

よく分かりました。

数学もっと頑張りますｗ

ありがとうございました。

回答No.1

mimihoshi

高校数学ですよね？数学からかなり離れてるので自身ありませんが……
kx^2＞2x-k (k≠0)
⇔kx^2-2x+k>0 (k≠0)
を解くためにまずグラフを書いてみましょう。
説明の為にf(x)=kx^2-2x+kとおきます。
X座標の上に下に凸（Ｕの形）のグラフが書けると思います。
なぜならそうならないとf(x)のグラフが常に0より大きくなりません。
ではそうなるためにはどんな条件が必要になるか考えてみましょう。
(1)k>0
(2)解の公式のルートの中<0
を解けばいいのでは？
(1)は下に凸になるための条件。(2)はf(x)がx座標と接点を持たないための条件。
(2)を解くと、
4-4k^2<0
⇔k^2-1>0
⇔(k+1)(k-1)>0
⇔k<-1, k>1
これと(1)を合わせると
k>1
うろ覚えの知識でやったので、もう一度貴方様で考えてみてください(>_<)
頑張って(⌒∇⌒)

お礼

なるほど…

共有点をもたないからD＜０とおくんですね！

よく分かりました。

数学もっと頑張りますｗ

ありがとうございました。