三次関数の証明（背理法）

質問

任意の相異なる4点(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4) を通る３次関数が２つ存在すると仮定した上で背理法により実際はただ1つしかそんざいしないということを証明してみてください！お願いします！

回答No.3

looker1986 · ベストアンサー

任意の相異なる4点(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4) を通る３次関数が２つ存在すると仮定し、f1(x), f2(x)とおく。
f1(x)≠f2(x)
ここで、g(x) = f1(x) - f2(x) とする。
g(x) は３次以下の関数である。
（３次関数の差は、３次以下の関数でなければならない。）

また、f1(x1) = f2(x1), f1(x2) = f2(x2), f1(x3) = f2(x3), f1(x4) = f2(x4)より、
g(x1) = g(x2) = g(x3) = g(x4) = 0

因数定理より、
g(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4)h(x)
とかける。　(ここで、h(x)は多項式)
しかし、もし、h(x) ≠ 0 ならば、右辺の次数は明らかに４次以上である。

ゆえに、 h(x) ≡ 0 でなければならず、
（h(x) ≡ 0　でなければ、左辺と右辺の次数が合わなくなります。左辺３次以下、右辺４次以上）

g(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4)h(x) ≡ 0
結局、g(x) = f1(x) - f2(x) ≡ 0 より、
f1(x) ≡ f2(x)
これは仮定に矛盾する。
つまり、任意の相異なる4点(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4) を通る３次関数はただ１つである。

証明風に書いてみました。どうでしょうか。

お礼

大変ありがとうございます！とても分かりやすく僕にでも理解できました。
課題なんとかなりそうです！
失礼します。

回答No.2

looker1986

少しは考えましたか？自分で考えなければ意味ないですよ。
それと、リンクの内容は私の回答だけではなく、他もちゃんとみましょう。ちゃんと答えが載っていますよ。

補足

はい、NO．6の回答のように2つの三次関数を考え二つの関数を連立させ同じ解が４つあることからf(x) - g(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4)h(x)　となるとこまでは分かったのですがh(x)=0 即ち、f(x)≡g(x)という部分がよく分からなかったのです。すみません理解力なくて。

回答No.1

looker1986

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3715058.htmlを見よ。
これで３つ目の同じ質問ですが、同じ学校の生徒ですかね。

補足

回答ありがとうございます。
教えて頂いたURLの背理法を見ると”それを f1(x), f2(x)とし、g(x) = f1(x) - f2(x) としてみましょう。”とありますがその先も具体的に教えて頂けませんか？