二次関数の問題

質問

a,b,cは実数とする。
xy平面上においてy=ax^2+bx+cが有理点を3つだけ通る場合はあるか。
ある場合は実例を上げ、ない場合はそのことを証明せよ。
ただし有理点とはx座標、y座標が共に有理数である点である。

おそらく有理点をちょうど3つもつ場合は存在しないのかなと思うのですが、証明の仕方がさっぱり思いつきません。
どなたか回答お願いします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

３つの有理点のx座標をp,q,rとすると、
ap^2+bp+c、aq^2+bq+c、ar^2+br+c　は有理数
(ap^2+bp+c)-(aq^2+bq+c)=a(p^2-q^2)+bp-bq=(ap+aq+b)(p-q)
も有理数なので、ap+aq+bは有理数
同様に、aq+ar+bも有理数
よって、(ap+aq+b)-(aq+ar+b)=a(p-r)
も有理数なので、aは有理数
これから、b,cも有理数であることが分かります。

a,b,cが有理数なら、y=ax^2+bx+cを通る有理点は無数にあります。

お礼

実際に代入してみればよいのですか。
回答ありがとうございます。

回答No.4

nag0720

＃１です。
有理点が３つあれば、a,b,cは有理数です。
（有理数を係数とする連立１次方程式の解は有理数であることからも分かります）
a,b,cが有理数なら、有理数xに対しy=ax^2+bx+cも有理数ですから、有理点は無数にあります。（x=0, 1, 3/2, 2, 8/3 などなんでも）
よって、有理点をちょうど３つ持つ場合は存在しないことになります。

有理点をちょうど１つ持つ場合や、２つ持つ場合は存在します。
１つ持つ場合：y=√2x^2、y=√3(x-1)^2+1　など
２つ持つ場合：y=√2x(x-1)、y=√3(x-1)(x+1)+1　など

１つだけ持つ場合は、グラフを平行移動することによって、任意の有理点を通る式を作ることができます。
２つだけ持つ場合は、２つの有理点のｙ座標は同じになると予想できますが、実際はどうなのか分かりません。

回答No.3

Mr_Holland

＃２です。

＞ただ、例えばa=√2,b=c=0のとき、通る有理点は原点のみ、となりませんか。

　なるほど、＃２の結論は乱暴でしたね。

　a=√2,b=c=0のケースは、原点を通ります。
　原点を通るケースは、＃２の証明でいえば、ｑ＝０　のときに相当しますので、＃２の結論には至りません。

　そこで、改めて原点を通るケースについて次のように考えてみます。

１）　y=ax^2+bx+c　が原点という有理点だけを通るケースが存在する。
　　（例）ｙ＝√2 x^2　　（mintDさんが挙げられた例です。）

２）　y=ax^2+bx+c　が原点と他の有理点を通る場合、無数の有理点を通ることを示します。

　　原点を通ることから　ｃ＝０　　　・・・・・（２’）
　　原点以外の有理点のｘ座標を　q'/p'　（p',q'は互いに素である整数。p',q'≠０）　とする。
　　また、その有理点のｙ座標を　m'/n'　（m',n'は互いに素である整数。n'≠０）　とする。

　このとき、次の式が得られます。

　　　an'q'^2 + bn'p'q'＝m'p'^2　　　・・・・・※

　式※のｐ’を法とした合同式から、次のことを得ます。

　　an'≡０　(mod p')　　（∵q'はp'と互いに素な整数だから）
　∴　aは有理数　　　　　　・・・・・・（１’）

　また、式※のｑ’を法とした合同式から、次のことを得ます。

　　０≡m'　(mod q')　　（∵p'はq'と互いに素な整数だから）
　∴m'＝kq'　（ｋ：整数）

　この式を式※に入れて両辺をｑ’で割り、改めてｑ’を法とした合同式を考えますと、次のことが得られます。

　　bn'-kp'≡０　(mod q')
　∴　ｂは有理数　　　・・・・・・（３’）

　（１’）～（３’）から、y=ax^2+bx+c　が原点と他の有理点を通れば、ａ，ｂ，ｃは有理数となりますので、この場合、無数の有理点を通ることになります。

　以上のことを踏まえて、＃２の結論を次のように書き直させてください。

　　「原点以外の有理点を１つでも通る」　⇒　「ａ，ｂ，ｃはすべて有理数である」

　この命題の対偶から、
　　「ａ，ｂ，ｃのうち無理数が１つでもある」　⇒　「原点以外の有理点を１つも通らない。」

　また、原点という有理点のみ通るものがあることを踏まえると、
　　　y=ax^2+bx+c　が通る有理点の個数について、次の３ケースしかない。

　　＜無数の有理点を通る＞　または　＜原点でのみ有理点を通る＞　または　＜有理点は１つも通らない＞

回答No.2

Mr_Holland

有理点を１つでも持つと無数に有理点が存在することで、有理点が３つだけの場合がないことを示します。

　ｙ＝ax^2+bx+c　はｘ座標がｑ／ｐ（ｐ、ｑは互いに素である整数、ｐ、ｑ≠０）である有理点を通るとします。
　このとき、この点のｙ座標は有理数でなければなりませんので、次のように表されます。

　　a(q/p)^2+b(q/p)+c＝m/n　　（ただし、ｍ、ｎは互いに素である整数、ｎ≠０）

　この式の両辺に p^2 n を掛けて次の式を得ます。

　　anq^2+bnpq+cnp^2＝mp^2　　　・・・・・☆

　式☆について　ｐ　を法とした次の合同式を得ます。
　　anq^2≡０　(mod p)
　∴an≡０　(mod p)　　　（∵　ｑはｐと互いに素な整数なので）

　この式で、ｎは整数であることから、ａは有理数でなければなりません。　　・・・・・・（１）

　次に、式☆について　ｑ　を法とした次の合同式を得ます。
　　cnp^2≡mp^2　　(mod q)
　　(cn-m)p^2≡０　(mod q)
　∴　cn-m≡０　　(mod q)　（∵　ｐはｑと互いに素な整数なので）

　この式で、ｎ，ｍは整数であることから、ｃは有理数でなければなりません。　　・・・・・（２）

　（１）、（２）と、式☆の　ｂ　を除くすべての変数が有理数であり、n,p,q≠０であることから、式☆の等号が成立するためには、　ｂも有理数でなければなりません。　・・・・・・（３）

　（１）～（３）から、ｙ＝ax^2+bx+c　は１つでも有理点を通れば、ａ，ｂ，ｃは有理数となります。
　このことから、ｘ座標がｑ／ｐ以外の有理数のときでも、ｙ座標は有理数となります。
　実数ｘには無数の有理数がありますので、　ｙ＝ax^2+bx+c　は１つでも有理点を通れば、無数の有理点を通ることになります。
　故に、　ｙ＝ax^2+bx+c　が有理点を３つだけ通る場合はありません。

　ちなみに、以上の証明の過程で、次の命題が証明されましたが、

　　「有理点を１つでも通る」　⇒　「ａ，ｂ，ｃはすべて有理数である」

この命題の対偶を採ることによって、次の命題が得られます。

　　「ａ，ｂ，ｃのうち無理数が１つでもある」　⇒　「有理点を１つも通らない。」

　つまり、y=ax^2+bx+c　が通る有理点の個数について、次の２ケースしかあり得ないことが分かります。

　　＜無数の有理点を通る＞　または　＜有理点は１つも通らない＞

お礼

回答ありがとうございます。
ただ、例えばa=√2,b=c=0のとき、通る有理点は原点のみ、となりませんか。