四訂版シニア数学演習I・II・A・B受験編２０４

質問

２０４，
a,b,c,dを定数とする。ただし、ｂ＞０，ｃ＞０，＞０，０≦ｄ＜２πとする。
関数f(x)=a+bsin(cx+d)が周期６πの周期関数で、x=πで最小値－２をとり、
最大値が３８であるとき、a,b,c,dの値を求めよ。

この問題がどうしてもわかりません(・_・;)
できるだけ解答がほしいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

suko22 · ベストアンサー

一部問題文におかしいところがありますけど、考え方を書きますので参考にしてください。
＞関数f(x)=a+bsin(cx+d)
周期、最大最小はsinですべて決まるのでaは最後に考えることにして、y=sinxを元に考えてます。

y=sinxは周期2πの周期関数。

y=sincx(c>0)が周期6πの周期関数になるためには、c*6π＝2πよりc=1/3
∴y=sin1/3x

y=sin1/3xが最小値をとるのは、
sin1/3x=-1のとき、すなわち1/3x=3/2π+2ｎπ（ｎは整数）より、
x=9/2π+6ｎπのとき。

問題文よりx=πで最小値をとると書いてあるので、y=sin1/3xをｘ軸方向に平行移動させることにより題意を満たす。

n=0のとき、
y=sin1/3xはx=9/2πのとき最小値をとる。これをｘ軸方向に平行移動させることによりｘ＝πで最小値をとるようにするためには、9/2π-π＝7/2π分y=sin1/3xをｘ軸の負の方向に平行移動させればよいことがわかる。

これはy=sin1/3xにおいて、
ｘ→ｘ+7/2πと置き換えることにより実現。
∴y=sin1/3(x+7/2π)=sin(1/3x+7/6π)　（これは0≦d＜2πを満たす）

（n=0以外のときは0≦d＜2πを満たさないので不適）

関数のｙ軸方向の振れ幅が-2から38なので振幅は｛38-（-2）｝/2＝20
b>0より、y=20sin(1/3x+7/6π)

-20≦20sin(1/3x+7/6π)≦20
最小値-2、最大値が38になるには各辺に18を足せばよいから
-2≦18+20sin(1/3x+7/6π)≦38
よって、y=18+20sin(1/3x+7/6π)

a=18,b=20,c=1/3,d=7/6π

周期からまずｃの値を決めて、ｘ軸方向の平行移動を考えて、振幅を考えて、最後にｙ軸方向の平行移動を考えます。

お礼

ありがとうございます。
めっちゃ助かります☆

これでやってみます！！

回答No.1

yyssaa

問題を正しく書きましょう！

補足

すみません
＞０が一つ多かったです。
正しくはｃ＞０，０≦ｄ＜２πでした。