高校１年の数学です

質問

(1)数列｛ａｎ｝が、ａ１＝3、ａn+1＝２an+３＾n+1を満たす時、一般項anをnで表せ。

解き方を教えてください。お願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

添え字を[]をつけて表すと
>a[n+1]=2a[n]+3^(n+1)
であれば

a[n]=3{(3^n)-(2^n)} (n=1,2,3,…)

解き方）
a[n]=2a[n-1]+3^n
=2(2a[n-2]+3^(n-1))+3^n
=(2^2)a[n-2]+2*3^(n-1)+3^n
=(2^2)(2a[n-3]+3^(n-2))+2*3^(n-1)+3^n
=(2^3)a[n-3]+(2^2)3^(n-2)+2*3^(n-1)+3^n
=…
　　=(2^(n-1))a[1]+(2^(n-2))(3^2)+(2^(n-3))*(3^3)+ … +2*3^(n-1)+3^n
=(2^(n-1))*3+(2^(n-2))(3^2)+(2^(n-3))*(3^3)+ … +2*3^(n-1)+3^n
={(2^n)+(2^(n-1))*3+(2^(n-2))(3^2)+(2^(n-3))*(3^3)+ … +2*3^(n-1)+(3^n)}-(2^n)
=(3-2){(2^n)+(2^(n-1))*3+(2^(n-2))(3^2)+(2^(n-3))*(3^3)+ …
+2*3^(n-1)+(3^n)}/(3-2)-(2^n)
=[{3^(n+1)}-{2*(2^n)}]-2^n
={3*(3^n)}-{3*(2^n)}
=3{(3^n)-(2^n)}

お礼

早速ご回答頂きましてありがとうございました。なんとか正解を導きだすことができました。

回答No.1

Yodo-gawa

宿題は自分でやりましょう。教科書の例題レベルですな。
ヒントはa(n)-a(n-1)です。

お礼

頑張って自力で解いてみます。