集合の名前付けについて変な考えをしてしまいました

質問

例えば写像において、定義域の集合の名前をA、値域の集合の名前をBとするとします。

しかしここで、なぜいちいち定義域の集合をAとしたのか（値域も同様）、xの集合なんだし初めっからxにすればいいのでは、と思ってしまいます。

もちろん、それはいけないと分かってます。
なぜなら、xはあくまでも要素の名前であり、集合自体の名前ではないからです。
また、もしxとすると
x={1、2、3、…}
において、x=1のとき
(1)1={1、2、3、…}
または
(2)x={1}
となってしまいます。
(1)は明らかにおかしいし、(2)は集合自体が変わってしまいます。

それに、例えば
A={1、2、3、…}
において
A=1のとき A={1}だとか1={1、2、3、…}だとかしてはいけませんよね。
A={1、2、3、…}としたら集合自体が変わってはいけないし、Aという名前も変わってはいけません。

とりあえず、xは要素名であり、集合名ではなく、集合名に使われる文字が変数ならば全てがおかしくなります。

と、だいたい答えは出てますが、自分の言葉じゃ納得いきません。
誰か回答をお願いします。

というか、こんな変な事で悩んでしまう事自体、おかしいですが…。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

集合の名前を x とつけても、何の問題もありません。
∀x, x ∩ ￢x = φ とか、普通に使いますよ。

質問文中でオカシナことが生じているのは、
集合とその元の両方を、同じ x で表示しようとしているからです。
ひとつの変数で異なるものを同時に指すことはできません。
集合論とは直接関係ない、それだけのことです。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.3

Tacosan

「いちいち定義域の集合をAとした」理由は特にありません. しいて言えば「ラテンアルファベットの最初の文字」というくらい.
一方「xの集合なんだし初めっからxにすればいいのでは」は意味不明. 「xの集合」ってなに?

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

boiseweb

「変な事で悩む」ことの根源は，「xとは『もの』の名前である」，つまり，「xというオブジェクト」が「存在する」という，不適切な思い込みのようですね．

きっぱり言います．xは要素名ではありません！ 「xという要素」なるものは存在しません！

それでは，xとは何か？
たぶん，最も模範的な答は「空所を表す記号」です．
もう少し詳しく言うと，xは「式や文の中で，そこに要素をあてはめるための『空所』を確保するプレースホルダー」です．要するに穴埋め試験問題の□（語句を当てはめる部分を表す四角）と同じです．ただ，空所を持つ式や文の外側からその『空所』を指し示すためには，『空所』に名前をつけておく必要があります．そこで，『空所』にxという名前をつけて，xという記号自体をプレースホルダーとして使うのが，数学の世界で確立した流儀です．

集合Aを書き表すのに，
A = { x | *** }
（*** 部分は x を含む文または式）
という表記法を使うことがあります．
しかし，こう書いたからといって，それは決して
「『xという名の要素』が存在して，それがAに属する」
ということを意味しません．
この集合の記法が意味するのは，
「*** の中の x に何かをあてはめたとき *** が真になるなら，それはAに属します，そうでなければ，それはAに属しません．何かがAに属するか属さないかは，この判定法で判定できますよ」
ということでしかありません．
xという文字の役割は，「Aに属するか属さないかの判定法」を書き表すための，文や式の中の『空所』（特に，判定したい対象をあてはめるべき場所）を明示する「名前つきプレースホルダー」です．

以下，「正の整数全体の集合」をNで表すことにします．

今，「正の偶数全体の集合」を考えて，これをEで表しましょう．
Eという集合に何が属して何が属さないかを書き表す方法を考えてみましょう．

(1) E は正の偶数全体の集合です．
(2) E = { 2, 4, 6, 8, ... }
(3) E = { 2n | n∈N }

(1)(2)(3)は，同一の集合Eに対して，Eに何が属して何が属さないかを複数の方法で書き表したものです（(2)は「...」を使っているために曖昧さがあるという欠点はありますが）．
そして，これらのどの表記を見ても，Eという集合に「xという名の要素」が属するという考えを正当化する理由は見当たりません．

そして，同じ集合Eを，次のように書き表すこともできます．

(4) E = { x∈N | x は偶数である }
(5) E = { x∈N | ある n∈N について x=2n }

「同じ」集合Eを，書き表し方を(1)(2)(3)から(4)(5)に変えただけで，今までなかった「xという名の要素」が突如出現して，それが新たなEの要素になるのですか？ そんなことはありません！ Eという集合は，書き表し方が(1)(2)(3)(4)(5)のどれであろうと同一で，「xという名の要素」なるものは，そもそも存在しないのです．
それでは，(4)(5)に現れるxという文字は何か？ それは，Eという集合を説明するために，何が属して何が属さないかの「判定法」を書き表すには「空所を持つ文」を書く必要があって，文の中の『空所』を明示するためにxという「名前付きプレースホルダー」を使っている，ただそれだけです．

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蛇足．数学者や数学教員も集合を扱うときに「xの集合，ただしxは…」などと口にすることがありますが，これは変な言い方で，（大学一般教養までの）数学教育の場では使うべきでない表現だと考えます．「…をみたすxの集合」という言い方も，（現実にはしばしば使われますが）ほんとうは好ましくないと思います．正確で誤解の余地がない表現のためには，冗長ではありますが「xについての条件『…』をみたす要素全体の集合」と言うべきでしょう．

お礼

回答ありがとうございます。