漸化式と項について

質問

ａは正の整数で、数列｛Ｐｎ｝において、Ｐ１＝２，Ｐ２＝ａ＾２＋２、
Ｐn＝ａ＊Ｐ（ｎ－２）－Ｐ（ｎ－１）　ｎ＝３，４・・・
のとき、数列｛Ｐｎ｝の項に４の倍数が表れないためのａの必要十分条件を求めよ。

いくつかの項を求めてみて、ａについての必要条件をもとめるところから、考えていけば
よいと思いましたが、いくつかの項をながめてみても、４の倍数とどう関係づけられるのか
ａについて見えてきません。よろしくお願いします。

回答No.6

Mr_Holland · ベストアンサー

ANo.2/4です。
　質問者さん、Tacosanさん、何度も計算ミスして済みません。
　計算結果を表計算ソフトでチェックして出直してきました。
　全体的な修正が必要でしたので、改めて以下に書き直します。
（ANo.2/4は無視してください。）

(1)　準備
　平方数a^2の4の余りがどうなるか見ておきます。
　合同式(mod)を使いますが、以下すべて(mod 4)について合同式とします。
　　a≡0,2 のとき　a^2≡0
　　a≡1,3 のとき　a^2≡1
　この結果を踏まえて、P(2)の余りの様子を見ておきます。
　　a≡0 のとき　P(2)=a^2+2≡0+2≡2
　　a≡1 のとき　P(2)=a^2+2≡1+2≡3
　　a≡2 のとき　P(2)=a^2+2≡0+2≡2
　　a≡3 のとき　P(2)=a^2+2≡1+2≡3

2)　必要条件
　いくつかのP(n)を求めてみて、その結果からaについての必要条件を得ます。
　　a≡0 のとき　P(3)=aP(1)-P(2)≡2a-2≡2*0-2≡2
　　a≡1 のとき　P(3)=aP(1)-P(2)≡2a-3≡2*1-3≡3
　　a≡2 のとき　P(3)=aP(1)-P(2)≡2a-2≡2*2-2≡2
　　a≡3 のとき　P(3)=aP(1)-P(2)≡2a-3≡2*3-3≡3

　　a≡0 のとき　P(4)=aP(2)-P(3)≡2a-2≡2*0-2≡2
　　a≡1 のとき　P(4)=aP(2)-P(3)≡3a-3≡3*1-3≡0　　∴a≢1
　　a≡2 のとき　P(4)=aP(2)-P(3)≡2a-2≡2*2-2≡2
　　a≡3 のとき　P(4)=aP(2)-P(3)≡3a-3≡3*3-3≡2
　ここで、a≢1 が得られました。
　またa≡0,2 のときは P(1)≡P(2)≡P(3)≡P(4)≡2 でしたので、このケースでは4の倍数にならないことが予想されます。
　以後はa≡3 の場合に絞ってP(5),P(6),P(7)を求めてみます。
　　a≡3 のとき　P(5)=aP(3)-P(4)≡3a-3≡3*3-2≡3
　　a≡3 のとき　P(6)=aP(4)-P(5)≡3a-2≡3*2-3≡3
　　a≡3 のとき　P(7)=aP(5)-P(6)≡3a-3≡3*3-3≡2
　これにより、a≡3 のとき　P(n)は　2,3,3,2,3,3,2,・・・と繰り返されることが予想されます。

　以上のことから　a≢1　を必要条件とします。

(3)　十分性の検証
　(2)から a≢1 という必要条件が得られましたので、a≡0,2,3 のときにP(n)が4の倍数にならないことを確認します。

　(2)からa≡0,2 のときは　P(n)≡2　が続いていましたので、数学的帰納法によりP(n)は4で割り切れないことを示します。
　a≡0,2 のとき
　　P(n-1)≡P(n-2)≡2
　　P(n-1)≡P(n-2)≡2と仮定すると、
　　　P(n)=aP(n-2)-P(n-1) ≡2a-2 ≡2
　∴a≡0,2 のとき　P(n)≡2 で　P(n)は4で割り切れない。

　次に、a≡3 のときは　P(n)は2→3→3→2 のパターンを繰り返すことが予想されましたので、P(n)の周期は3となって　P(n)は4で割り切れないことを示します。
　a≡3 のとき
　　P(n)=aP(n-2)-P(n-1) ≡3P(n-2)-P(n-1) ≡3P(n-2)-{3P(n-3)-P(n-2)} ≡4P(n-2)-3P(n-3) ≡ P(n-3)
　∴P(n)の周期は3以下である。
　今、P(1)≡2, P(2)≡3, P(3)≡3 であるので、P(n)≡2,3 となり、P(n)は4で割り切れない。

　以上のことから、数列｛Ｐｎ｝の項に４の倍数が表れないためのａの必要十分条件は、aを4で割ったときの余りが1ではない　ということになります。

　いろいろとご迷惑をおかけしました。
　このような回答でよろしければ参考にしてください。

お礼

回答ありがとうございます
必要性のところは注意が必要なようですが
十分性のところの∴P(n)の周期は3以下である。
を導き出せるかも大変なところだと思いました。

回答No.5

Tacosan

残念ながらそれも間違ってます＞#4.
a = 1 のとき P(1) = 2, P(2) = 1^2+2 = 3, P(3) = 1・2 - 3 = -1 ≡ 3,
a = 2 のとき P(1) = 2, P(2) = 2^2+2 = 6, P(3) = 2・2 - 6 = -2 ≡ 2,
a = 3 のとき P(1) = 2, P(2) = 3^2+2 = 11, P(3) = 3・2 - 11 = -5 ≡ 3,
a = 4 のとき P(1) = 2, P(2) = 4^2+2 = 18, P(3) = 4・2 - 18 = -10 ≡ 2
(いずれも法は 4).

お礼

回答ありがとうございます
回答を理解しながら読むのに大変です
がんばってみたいとおもいます

回答No.4

Mr_Holland

ANo.2です。

＞P(3) の計算が間違ってますよ～＞#2.
　Tacosanさん、ご指摘ありがとう。

　P(4)以降の計算は不要です。（計算はもっと楽でした。）

　以下の通り訂正します。

(2)　必要条件
　　a≡0 のとき　P(3)=aP(1)-P(2)=a-P(2)≡0-2≡2
　　a≡1 のとき　P(3)=aP(1)-P(2)=a-P(2)≡3-3≡0　　∴a≢1　　　←ここのみ訂正
　　a≡2 のとき　P(3)=aP(1)-P(2)=a-P(2)≡2-2≡0　　∴a≢2
　　a≡3 のとき　P(3)=aP(1)-P(2)=a-P(2)≡3-3≡0　　∴a≢3
　ここで、a≢1,2,3　が得られましたので、a≡0 を必要条件とします。

　以下(3)に続きます。

回答No.3

Tacosan

P(3) の計算が間違ってますよ～＞#2.

回答No.2

Mr_Holland

このような漸化式は　＃１さんが言われるように4の余りに着目して、まずはいくつかのP(n)で必要条件を求めて、その次に十分性を検証するとよいと思います。
（一般項を求めても無理数や虚数が出てくるので上手くないからです。）

(1)　準備
　平方数a^2の4の余りがどうなるか見ておきます。
　合同式(mod)を使いますが、以下すべて(mod 4)について合同式とします。
　　a≡0,2 のとき　a^2≡0
　　a≡1,3 のとき　a^2≡1
　この結果を踏まえて、P(2)の余りの様子を見ておきます。
　　a≡0,2 のとき　P(2)=a^2+2≡2
　　a≡1,3 のとき　P(2)=a^2+2≡3

(2)　必要条件
　いくつかのP(n)を求めてみて、その結果からaについての必要条件を得ます。
　　a≡0 のとき　P(3)=aP(1)-P(2)=a-P(2)≡0-2≡2
　　a≡1 のとき　P(3)=aP(1)-P(2)=a-P(2)≡1-3≡2
　　a≡2 のとき　P(3)=aP(1)-P(2)=a-P(2)≡2-2≡0　　∴a≢2
　　a≡3 のとき　P(3)=aP(1)-P(2)=a-P(2)≡3-3≡0　　∴a≢3
　ここで、a≢2,3 が得られたので、以後はa≡0,1の場合に絞ってP(4),P(5),P(6)を求めてみます。
　　a≡0 のとき　P(4)=aP(2)-P(3)≡0-2≡2
　　a≡1 のとき　P(4)=aP(2)-P(3)≡1*3-2≡1
　　a≡0 のとき　P(5)=aP(3)-P(4)≡0-2≡2
　　a≡1 のとき　P(5)=aP(3)-P(4)≡1*2-1≡1
　　a≡0 のとき　P(6)=aP(4)-P(5)≡0-2≡2
　　a≡1 のとき　P(6)=aP(4)-P(5)≡1*1-1≡0　　∴a≢1
　ここで、a≢1　も得られましたので、a≡0 を必要条件とします。
　（なお、以後の検証ではっきりしますが、a≡0 については途中で余りが2で続きますので省略してもらっても構いません。）

(3)　十分性の検証
　(2)でa≡0 が得られましたので、本当にa≡0ならばP(n)が４の倍数にならないかを確認します。
　a≡0 のとき
　　P(n)=aP(n-2)-P(n-1) ≡-P(n-1) ≡(-1)^(n-2)*P(2) ≡(-1)^(n-2)*2 ≡2
となって確かに4の倍数にならないことが確認できました。

　以上の考察から、P(n)に4の倍数が現れないためのaの必要十分条件は　aは４の倍数である　です。

(参考)
　a≡1 のときについて先に漸化式を作っておくと、(2)で行った計算は　P(4)≡P(5)≡1 が出てきた時点で止めてもらっても構いません。（漸化式による説明が必要ですが。）
　a≡1 のとき
　　P(n)=aP(n-2)-P(n-1)≡P(n-2)-P(n-1)≢0　∴P(n-2)≢P(n-1)

　以上、よろしければ参考にしてください。

回答No.1

Tacosan

「4 の倍数」かどうかが問題になるわけだから, 言い換えれば「4 で割った余り」が問題ということだ.
ということで, 4 で割った余りに着目すべし.

お礼

回答ありがとうございます
ａを４で割ったときのあまりについて
考えてみます。場合分けの設定を思いつくのが
むずかしいです。