積分ができません

質問

∫[a→b]e^{(-x^2)/(2a^2)}coskxdxという積分の計算ができないのですが、どのようにすればよいのでしょうか？

部分積分などをしてもダメな感じですし…。

わかる方がいらっしゃいましたら解き方を教えていただきたいです。

よろしくお願いします

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

No.2 の人は、∫[a→b] e^{(-x)/(a^2)} cos(kx) dx を計算したのだと思う。

cos θ = { e^(iθ) + e^(-iθ) } / 2 を使って、
e^{(-x^2)/(2a^2)} cos(kx)
= (1/2)e^(-(ak)^2/2) { e^(-(x/a + ik)^2/2) + e^(-(x/a - ik)^2/2) }
と変形してみれば、
∫e^(-x^2) dx が初等関数で表せないことから、簡単な式では書けない
ことが見えてくるはず。

どうしても何か書きたければ、誤差関数を使った式を考えてみよう。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%A4%E5%B7%AE%E9%96%A2%E6%95%B0

お礼

みなさんありがとうございます。申し訳ありませんが、私の質問の仕方が悪かったようですので、もう一度質問をさせていただきます。
本当にごめんなさい。

補足

回答をしていただきありがとうございます。
この問題は本当は
A(k)=∫[-∞→∞]f(x)coskxdx
B(k)=∫[-∞→∞]f(x)sinkxdx
としたときフーリエ変換A(k),B(k)を求めよ。という問題です。
またG(k)=∫[-∞→∞]f(x)e^(-ikx)dxとしたとき、G(x)も求めよ。とのことですが、G(k)=A(k)-iB(k)となることはすぐにわかります。

解答にはA(k)=√(2π)ae^｛(-ak)^2/2｝
B(k)=0
G(k)=A(k)となっています。

ここでA(k),B(k)のみが答えにかかれていますが、なぜこのように導かれるのでしょうか？
みなさんの回答をみている限りでは、非常に難しい式になるようですが、なぜこのように求められているのでしょうか？

回答No.2

john-lemon

この問題は部分積分でよいと思います。

問題の式をＩとおきます。指数関数をｇ、三角関数をｆと置いて２回部分積分します。
すると右辺にも問題とまったく同じ積分が出てくるので、それもIとおくと
Ｉ＝(・・・)+(・・・)-(1/k^2a^4)I
という式になります。
右辺の-(1/k^2a^4)Iを左辺に移項してIの係数で両辺を割れば答えが出ます。

大変ですが、がんばってください

補足

回答をしていただきありがとうございます。
この問題は本当は
A(k)=∫[-∞→∞]f(x)coskxdx
B(k)=∫[-∞→∞]f(x)sinkxdx
としたときフーリエ変換A(k),B(k)を求めよ。という問題です。
またG(k)=∫[-∞→∞]f(x)e^(-ikx)dxとしたとき、G(x)も求めよ。とのことですが、G(k)=A(k)-iB(k)となることはすぐにわかります。

解答にはA(k)=√(2π)ae^｛(-ak)^2/2｝
B(k)=0
G(k)=A(k)となっています。

ここでA(k),B(k)のみが答えにかかれていますが、なぜこのように導かれるのでしょうか？
みなさんの回答をみている限りでは、非常に難しい式になるようですが、なぜこのように求められているのでしょうか？

回答No.1

Tacosan

解析的に初等関数で表すのは不可能じゃないかなぁ....

補足

回答をしていただきありがとうございます。
この問題は本当は
A(k)=∫[-∞→∞]f(x)coskxdx
B(k)=∫[-∞→∞]f(x)sinkxdx
としたときフーリエ変換A(k),B(k)を求めよ。という問題です。
またG(k)=∫[-∞→∞]f(x)e^(-ikx)dxとしたとき、G(x)も求めよ。とのことですが、G(k)=A(k)-iB(k)となることはすぐにわかります。

解答にはA(k)=√(2π)ae^｛(-ak)^2/2｝
B(k)=0
G(k)=A(k)となっています。

ここでA(k),B(k)のみが答えにかかれていますが、なぜこのように導かれるのでしょうか？
みなさんの回答をみている限りでは、非常に難しい式になるようですが、なぜこのように求められているのでしょうか？