極座標への変換

質問

D=｛(x,y)｜x^2+y^2≦x｝とするとき、∬D √x dxdyを極座標に変換して求める場合はどうやってとくのでしょうか？ちょっとしたことでもいいので教えてくださいm(_ _)m

回答No.1

eliteyoshi · ベストアンサー

D=｛(x,y)｜x^2+y^2≦x}だから領域Dは
円(x-1/2)^2+y^2≦1/4　…(1)
の内部です。
x=rcosθ, y=rsinθより円の方程式を極方程式にすると、
(rcosθ)^2+(rsinθ)^2=rcosθ
r^2=rcosθ
r=cosθ　　…(2)
となります。(1)と(2)の図を書けば分かると思いますが、このときのr,θの範囲は、
0≦r≦cosθ, -π/2≦θ≦π/2
だから
G={(r,θ)| 0≦r≦cosθ, -π/2≦θ≦π/2}
となる。したがって、

∬D √x dxdy
=∬G √(rcosθ) rdrdθ
=∬G √(rcosθ) rdrdθ
=∬G r^(3/2)・cosθdrdθ
=∫[-π/2→π/2]{∫[0→cosθ]r^(3/2)・cosθdr}dθ
=(2/5)∫[-π/2→π/2]cos^3θdθ
cos3θ=4cos^3θ-3cosθより
=(2/5)[(1/12)sin3x+(3/4)sinx][-π/2→π/2]
=8/15

でどうでしょうか？

お礼

詳しい解答本当にありがとうございます。
数学が苦手なあたしでも解けそうな気がします。
本当に感謝しております！！
ありがとうございました！！！！