2重積分 変数変換をする場合 どなたか教えていただけないでしょうか？

質問

1．∫∫(x^2+y^2)dxdy　 D={(x,y)|(x-1)^2+y^2≦1}
2．∫∫e^(-(x^2+y^2))dxdy D={(x,y)|0≦x,0≦y}

上記の問題について、変数変換を使用するんだろうなとは解るのですが、そこから実際どうやって解いていくのかわかりません。

1については(x-1)=rcosθ,y=rsinθとして変数変換するのでしょうか? 2については、x=rcosθ,y=rsinθとして考えてみたのですが、Dの領域が座標変換した場合にどうなるのかさっぱり見当が付きません。

変数変換をするところから答えを導出するまで、詳しい過程を教えていただける方がいらっしゃいましたら、よろしくお願いいたします。

回答No.2

devilstick · ベストアンサー

遅れて申し訳ないです、(2)については
極座標変換x=rcosθ,y=rsinθによって、
Ｅ={(r,θ)|0≦r,0≦θ≦π/2}に一対一にうつる。
ヤコビアンＪ＝ｒで、
e^(-(x^2+y^2))＝e^(-r^2)だから、
∫∫e^(-(x^2+y^2))dxdy＝∫∫e^(-r^2)|r|drdθ
となって、あとはどちらを先に積分しても
計算できると思います。
結果は、π/2*∫ｒe^(-r^2)dr
=π/2*[-1/2*e^(-r^2)] （0から∞まで積分）
=π/2*(0+1/2)
=π/4
こんなかんじだと思います。

補足

遅れたなんてとんでもないです、回答ありがとうございます。
1の問題と同じように極座標変換についても、

x=rcosθ,y=rsinθと置いた場合、
Dの領域から0≦rcosθ,0≦rsinθとなるのでグラフを書いて考えたのですが、
単純に考えてＥ={(r,θ)|0≦r,0≦θ≦π/2}の他に
Ｇ={(r,θ)|r≦0,π≦θ≦3π/2}も0≦rcosθ,0≦rsinθを満たしていると思い、
どちらも積分しなければならないのか?と思い混乱して分からなくなりました。
Ｇが排除される(というよりかは範囲にならない)のはどう考えればいいのでしょうか?
とんでもない質問をしているのは分かっているのですが、どうしてもそこが理解できません…。お願いします。

回答No.7

noname#111804

ミスしました。
＃６は無視してください。

再度訂正して掲載します。

1．∫∫(x^2+y^2)dxdy　 D={(x,y)|(x-1)^2+y^2≦1}
の二重積分を求めよ。

積分領域は中心点（１、０）で半径１の円内です。

局座標変換をします。

ｒ＝2cosθ
ｘ＝ｒcosθ
ｙ＝ｒsinθ
ヤコビヤン｜J|＝ｒ

積分領域[-π/2,0]を計算してみます。

V=∫[-π/2,0]{∫[0,2cosθ](r^2)rdr}dθ
=∫[-π/2,0]dθ{∫[0,2cosθ](r^2)rdr}
=∫[-π/2,0]dθ{∫[0,2cosθ](r^3)dr}
=∫[-π/2,0]dθ{(1/4)(r^4)[r=0,r=2cosθ]
=４∫[-π/2,0]dθ{((cosθ)^4]
=４∫[-π/2,0]dθ{(1/32)(12θ+8sin(2θ)+si(4θ)}
=(1/8)(6π)
=(3/4)π
以上です。

お礼

回答ありがとうございます。
自分は極座標変換がまだよく分かっていないようなので、回答を参考にしてもう少し演習の方を進めていきたいと思います。

回答No.6

noname#111804

1．∫∫(x^2+y^2)dxdy　 D={(x,y)|(x-1)^2+y^2≦1}
の二重積分を求めよ。

積分領域は中心点（１、０）で半径１の円内です。

局座標変換をします。

ｒ＝2cosθ
ｘ＝ｒcosθ
ｙ＝ｒsinθ
ヤコビヤン｜J|＝ｒ

積分領域[-π/2,0]を計算してみます。

V=∫[-π/2,0]{∫[0,2cosθ](r^2)rdr}dθ
=∫[-π/2,0]dθ{∫[0,2cosθ](r^2)rdr}
=∫[-π/2,0]dθ{∫[0,2cosθ](r^3)dr}
=∫[-π/2,0]dθ{(1/4)(r^4)[r=0,r=2cosθ]
=∫[-π/2,0]dθ{(1/4)((cosθ)^4]
=(1/4)∫[-π/2,0]dθ{(1/32)(12θ+8sin(2θ)+si(4θ)}
=(1/8)(6π)
=(3/4)π

回答No.5

info22

#4です。
A#4の補足の回答
>∫∫(3x+y)(3x-y)^5dxdy D={(x,y)|0≦3x+y≦1,0≦3x-y≦2}
>そのままu=3x+y,v=3x-yと置けばすぐに変数変換して
被積分関数の形とは関係なく、積分領域が斜めの平行四辺形の場合は↑の変換をすると分割積分しないで1つの積分で積分できるようになります。

>∫∫(3x+y)(3x-y)^5dxdy D={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦3x}
の場合は積分領域がx,y座標軸に沿った直角三角形であることから変数変換は不要で、そのまま積分した方が良い場合になります。
I=∫∫[D](3x+y)(3x-y)^5dxdy
=∫[0,1]{∫[0,2x](3x+y)(3x-y)^5dy}dx
or
=∫[0,3]{∫[1-(y/3),1](3x+y)(3x-y)^5dx}dy
として積分すればいいですね。
被積分関数を展開しないで部分積分するか、展開して積分するかは
どちらでも結構です。
積分結果は
729/14
となります。

変数変換は、積分領域の上限と下限が定数になるようにしたり、定数が多く、変数が出来るだけ入らないように、置換を行うのがいいでしょう。

お礼

返信が遅くなってしまい申し訳ありません。
回答ありがとうございます。

この問題については変数変換をして積分せよということだったので、変数変換が不要だということは驚きました。
積分の計算自体もまだまだ苦手なので、アドバイスを参考にしながら演習をしていきたいと思っています。

何度も質問してしまいましたが、丁寧な回答ありがとうございました！本当に助かりました。機会がありましたら、またよろしくお願いいたします。

回答No.4

info22

1は「(3/2)π」、2は「π/4」と出てきました。
1の重積分V1はxy座標だと
V1=∫[0,2] 2*{∫[0,(1-(x-1)^2)^(1/2))](x^2+y^2)dy}dx=(3/2)π
極座標だと
V1=2∫[0,π/2]{∫[0,2cosθ](r^2)rdr}dθ=(3/2)π
どちらでも直接積分が出来、同じ結果が出てきます。

2の重積分V2はxy座標だと
V2=∫[0,∞]{∫[0,∞] e^(-x^2-y^2)dy}dx
={∫[0,∞]e^(-x^2)dx}{∫[0,∞] e^(-y^2)dy}
極座標だと
V2=∫[0,π/2]{∫[0,∞] e^(-r^2) rdr}dθ
と表わせ、同じ積分結果が得られます。

いずれも#1,#2さんの結果結果と同じになっています。

補足

回答ありがとうございます。
私が挙げた問題では変数変換をしてもしなくても積分出来るということでしたが、変数変換するかしないかを見分けるポイントというか、コツみたいなもの、変数変換をする際の新しいu,v等の取り方がありましたら教えていただけると嬉しいです。

例えば、
∫∫(3x+y)(3x-y)^5dxdy D={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦3x}
という問題があった場合、もしDの領域が0≦3x+y≦1,0≦3x-y≦2と
いったように積分する関数と一緒だった場合は、そのままu=3x+y,v=3x-yと
置けばすぐに変数変換して、その場合の領域もすんなり出せると思うのですが、
0≦x≦1,0≦y≦3xだと、とうしたらいいのだろうかと悩んでしまいます。

回答No.3

devilstick

(1)について、
「r^2≦1となるので範囲は-1≦r≦1」とするのは
ぜんぜん間違いではありません。
ただしその場合、θの範囲を0≦θ＜2πで
Ｅ={(r,θ)|-1≦r≦1,0≦θ＜2π}としてしまうと、
(r,θ)をこの範囲で動かしたときに
(x,y)の動く範囲が同じ場所を2回通るような感じになりますよね？
（例えば、(r,θ)=(1,0)のときと、(r,θ)=(-1,π)のとき）
こうなってしまうのは、「一対一対応する」とは言いません。
重積分で変数変換するときに重要なのは、
一対一対応していなければなりません。
θの範囲を0≦θ＜πとして
Ｅ={(r,θ)|-1≦r≦1,0≦θ＜π}とすれば
計算結果も同じになると思います。
(2)についても同様で、
Ｇ={(r,θ)|r≦0,π≦θ≦3π/2}の部分のみを考えるならば
ＤとＧが一対一対応するので、まったく問題ないです(^^)v

最初の回答では一部不等号の記号が間違っていましたorz
≦をてきとうに＜に直しておいてやってくださいな
（そうしないと一対一対応になっていない部分がありました(-_-;)申し訳ない）

補足

返信が遅れてしまい申し訳ないです。

>(r,θ)をこの範囲で動かしたときに
>(x,y)の動く範囲が同じ場所を2回通るような感じになりますよね？
>（例えば、(r,θ)=(1,0)のときと、(r,θ)=(-1,π)のとき）
>こうなってしまうのは、「一対一対応する」とは言いません。

自分で図を書いてみてなんとなくは理解できたのですが、ちょっとまだストンと自分の中に落ちていない部分があるので、よろしかったらもう少し詳しく説明していただけないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.1

devilstick

考え方はだいたい合ってますよ。
(1)について、
(x-1)=rcosθ,y=rsinθと変数変換すれば
集合Ｅ={(r,θ)|0≦r≦1,0≦θ≦2π}が
集合Ｄに一対一にうつる。
ヤコビアンＪ=rで、
x^2+y^2=(rcosθ+1)^2+(rsinθ)^2
=r^2+2rcosθ+1 だから、
∫∫(x^2+y^2)dxdy=∫∫(r^2+2rcosθ+1)|r|drdθ
として、あとはどちらを先に積分しても
計算できると思いますが、θを先にした方がよいかと思います。
結果は、∫2π*(r^3+r)dr=2π[r^4/4+r^2/2]
=2π(1/4+1/2)=3π/2 かな？間違っていたらすいません。

補足

素早い回答本当にありがとうございます。
計算をしてみたところ答えまでたどり着くことが出来たのですが、
本当に数学が苦手なまま来てしまい、未だに計算方法が
理解出来ていないところがあるせいか、
変数変換が全然理解できていないようで、

>集合Ｅ={(r,θ)|0≦r≦1,0≦θ≦2π}が集合Ｄに一対一にうつる。
ここが理解できないでいます。

D={(x,y)|(x-1)^2+y^2≦1}なので、
(x-1)=rcosθ,y=rsinθと置いた場合、Dは(rcosθ)^2+(rsinθ)^2≦1
となるので計算すると、r^2≦1となるので範囲は-1≦r≦1だと思って
計算したので答えが出せなかったのですが、0≦r≦1とするのは
どういう風に考えればいいのでしょうか…?
変な質問をしてしまって申し訳ないです。よろしくお願いします。