曲座標変換の領域

質問

重積分の曲座標変換について、θの領域は一般的にどのように決まるのでしょうか。
例えば以下のような問題

∫∫x dxdy　　D:　x^2　+　y^2　<= ax　　(a>0)

では
(0　<= r　<= acosθ)
(-π/2　<=　θ　<=　π/2)

となっているのですが、何故±π/2なのでしょうか。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

領域Dをxy座標平面と極座標平面で描いたとき、両方の領域が、過不足なく、完全に一致するように
x,y座標の範囲
　D:{(x,y)|x^2+y^2≦ax つまり (x-(a/2))^2+y^2≦(a/2)^2,a>0}
（中心C(a/2,0)、半径a/2の円周及び円内）
極座標の範囲
　D:{(r,θ)|0≦r≦a*cosθ,-π/2≦θ≦π/2,a>0}
（中心C(a/2,0)、半径a/2の円周及び円内）
が決まります。両座標平面を重ねて積分領域Dを描いた図を添付します。
図の青実線の円の方程式は
　xy座標では：(x-(a/2))^2+y^2≦(a/2)^2 (a>0)
　極座標では：r=a*cosθ (-π/2≦θ≦π/2,a>0) …(★)
と書けます。

>何故±π/2なのでしょうか。
円の極座標表現（★）のθの範囲から導出されます。

図からDの「中心C(a/2,0)、半径a/2の円周及び円内」の
　(x-(a/2))^2+y^2≦(a/2)^2　(a>0)
の領域（図の青線の斜線領域、青実線の境界を含む）を
過不足なく完全にカバーするには、

rの範囲は、図の線分AP上（両端を含む）は（★）から
　0≦r≦a*cosθ
で
θは　-π/2≦θ≦π/2（a>0）
としなければいけないことが

図から分かるかと思いますが
如何でしょうか？

お礼

直交座標の図をもとにPがどのように移動すれば領域をカバーできるかを考え、そこからθが出るのですね。

説明に沿って図を見たら理解できました。
参考書を見てもわからなかったのに、こちらの説明はとても判り易かったです。
ありがとうございました。

回答No.1

hrsmmhr

多分x>=0の半平面にしか領域Dが存在しないからだと思います
それにr>=0である必要もありますし

お礼

回答ありがとうございます。
もう少し詳しく教えていただけると助かります。