継続・困っています…orz(全微分：再考)

質問

前回の書き込みで皆様に頂いたご指摘を元に定義の導出を考えてみました。
稚拙なものですが、アドバイスをいただきたく思います。

お手数をお掛けいたします。

>>全微分可能の定義を述べよ
>>関数f(x,y)の定義域内で点(a,b)から点(a+h,b+k)に移動した場合を考える。

f(a+h,b+k)を近似する二変数多項式が存在するならば、
h,kを変数、A,Bを定数として、f(a,b)+Ah+bkと表すことができる。

f(a+h,b+k)をf(a,b)+Ah+bkで近似した際の誤差を関数ε(h,k)で示すと、
f(a+h,b+k)=f(a,b)+Ah+bk+ε(h,k)と表現できる。

近似誤差に着目すると、
ε(h,k)=f(a+h,b+k)-f(a,b)-(Ah+bk)…(1)

微分可能であるためには(a,b)と(a+h,b+k)の
2点間の距離√(h^2+k^2)が0に近づくにつれて近似誤差ε(h,k)が0に近づけば良い。

ただし、近似誤差ε(h,k)より先に2点間の距離√(h^2+k^2)が0になる場合、
ε(h,k)が0に十分近くならないことがあり、誤差が無視できなくなる。

つまり、2点間の距離√(h^2+k^2)より先に近似誤差ε(h,k)が0に近づく必要がある。

式で表すと　lim[(h,k)→0] ε(h,k)/√(h^2+k^2) =0…(2)
(距離√(h^2+k^2)より先に誤差ε(h,k)が0に近づくと0になり、逆の場合は∞になる)

(2)に(1)を代入してlim[(h,k)→0] {f(a+h,b+k)-f(a,b)-(Ah+bk)}/√(h^2+k^2) =0
この式が成り立つ場合、全微分可能と言える。

又、{f(a+h,b+k)-f(a,b)-(Ah+bk)}/√(h^2+k^2)=εと表現した時、

f(a+h,b+k)-f(a,b)-(Ah+bk)=ε√(h^2+k^2)

f(a+h,b+k)-f(a,b)=Ah+bk+ε√(h^2+k^2)かつlim[(h,k)→0] ε = 0となる。

回答No.2

noname#221368 · ベストアンサー

前回の#3です。

　前回は、

＞全微分可能の定義の説明をしなさいという・・・
>>関数f(x,y)の点(a,b)における全微分可能を説明します。

という事だったので、題意は定義を述べる事でなく「説明」の方に重点があるのでは？、みたいな応答をしましたが、

>>全微分可能の定義を述べよ

というのが正確な「問題文」なのであれば、#1さんの仰る通りです。前回の#3の1.も考慮して頂けたと思うのですが（←勝手な思い込み^^）、#1さんへの補足の「定義」は、前回より格段に良いと思います。もし今回でも駄目だったら、次の点を考慮してみて下さい。

　　(1)微分（全微分）とは、関数の局所線形化（一次関数化）「操作」の事。
　　(2)「化」ですから、そこには目的意識を持って、関数を局所線形化する「操作」があるわけで、だからこそ最初に全微分とは、

　　　　　lim[(h,k)→0] {f(a+h,b+k)-f(a,b)-(Ah+bk)}/√(h^2+k^2) =0

　　　　が成り立つ事だと言い切って、「定義する」わけです。関数を一点で（局所で）、Ah+bkに変換する操作が微分だというわけです。

　　(3)よって関数の局所線形化（一次関数化）の結果を考えれば、（目的意識を持って）それは自然に接平面の考えにつながります

　出題者は、そのような視点を聞きたかったのかな？と、ちょっと思います。まぁ～、ちょっとです。

　以下余談です。εの極限が有限になったり、振動する場合の話も出てましたが、これは誤差と距離が、いわば「同時に」0になる場合ですよね？。あなたの仰るように、そうならないように全微分の定義で言い切ってるわけですから、それは問題ないと自分には思えます。

　というわけで自分も、微分＝全微分の考えです。個人的には(fx，fy)の横ベクトルの事を、関数f(x，y)の微分係数と（秘かに）呼んでいます。

お礼

前回に続き的確なご指摘、ありがとう御座います。
前のご意見はとても参考になりました！

>>自然に接平面の考えにつながります

もう少し、接平面についての理解を深めてから再提出しようと思います。

回答No.1

R_Earl

> 前回の書き込みで皆様に頂いたご指摘を元に定義の導出を考えてみました。

定義は導出するものではありません。

定義とは名付けとかルール決めのようなものです。
簡単に言ってしまえば「～～を……と名付けましょう！」とかそういうのが定義です。
なので定義を導出するというのはおかしいです。
単に名前を付けるだけなんです。名付けに「導出」が必要でしょうか？
導出するとしたらそれは「定義」ではなく、「定理」です。

全微分可能の定義の説明をしたいなら、
まず一番最初に何かに「全微分可能」と名付けて下さい。
つまり、「～～～を全微分可能と定める」と書き始めて下さい。
その後、説明を加える形が良いでしょう。

あと、全体的に何を示そうとしているのかが分かりません。
何かを示そうとしている時は、「まず～～である事を示す」とか、
「次に～～である事を示す」とか、
そういった言葉を冒頭に書いた方が良いと思います。

> 微分可能であるためには(a,b)と(a+h,b+k)の

微分可能と全微分可能の違いは何でしょうか？

> 式で表すと　lim[(h,k)→0] ε(h,k)/√(h^2+k^2) =0…(2)
> (距離√(h^2+k^2)より先に誤差ε(h,k)が0に近づくと0になり、逆の場合は∞になる)

疑問なのですが、ε(h,k)が無限大に発散せずに収束しない場合や、
何らかの値に収束する場合はありえないのでしょうか。

お礼

的確なアドバイス、ありがとう御座います。

>>微分可能と全微分可能の違いは何でしょうか？
差は無いと思います。偏微分で無い限りは(全)微分に分類されるのではと思います。

>>ε(h,k)が無限大に発散せずに収束しない場合や、何らかの値に収束する場合はありえないのでしょうか。

2点間の距離が近づけば近づくほど、一次近似する際にその近似誤差は基本的に収束するわけです。

全微分可能ならば距離と誤差がともに収束するわけですが、順番に問題があります。誤差より先に距離が収束すると無視できない誤差が何らかの値として残ります。この場合を排除するために分子に誤差、分母に距離を持ってくるのです。すると誤差が無視できない場合は発散して、全微分が不可能であると示されるのです。

誤差が無視できない場合＝滑らかではない

という認識です。

補足

ご指摘通り改善してみました。
お手数をお掛けいたしますが、ご意見をお願いします。

定義

関数f(x,y)の定義域内で点(a,b)から点(a+h,b+k)に移動した場合、h,kを変数、A,Bをｈ,kと無関係な定数として、以下の式が成り立つ事が全微分可能の定義である。
lim[(h,k)→0] {f(a+h,b+k)-f(a,b)-(Ah+bk)}/√(h^2+k^2) =0

定義の説明として

全微分とは、すべての変数を微少量動かしたときの一次近似での関数の変化量であるので、f(a+h,b+k)を一次近似する二変数多項式について考えると、
h,kを変数、A,Bを定数として、f(a,b)+Ah+bkと表すことができる。

f(a+h,b+k)をf(a,b)+Ah+bkで近似した際の誤差を関数ε(h,k)で示すと、

f(a+h,b+k)=f(a,b)+Ah+bk+ε(h,k)
∴　ε(h,k)= f(a+h,b+k)-f(a,b)-(Ah+bk)

この近似誤差ε(h,k)が点間の距離√(h^2+k^2)より先に0に近づく場合、近似誤差は無視できるほど十分に小さくなる。

式で示すとlim[(h,k)→0] ε(h,k)/√(h^2+k^2) =0
(距離√(h^2+k^2)より先に誤差ε(h,k)が0に近づくと0になり、逆の場合は∞になる)

代入してlim[(h,k)→0] {f(a+h,b+k)-f(a,b)-(Ah+bk)}/√(h^2+k^2) =0
この式が成り立つ場合、f(a+h,b+k)がf(a,b)+Ah+bkで一次近似できるので関数f(x,y)は点(a,b)で全微分可能と言える。//