2002年センター試験追試 数学IIの三角関数

質問

いつも大変お世話になっております。

　2002年センター試験追試　数学IIの三角関数に関する問題で、
私の持っている問題集で、別解として記載してある内容なのですが、
どうしても理解できないところがあります。

　問題

　aは-2≦a≦2を満たす定数。
　2つの角x,yは、
　cos(x)-cos(y)=a
　を満たしながら、
　0≦x≦π,0≦y≦πの範囲を動く。
　このとき、s=sin(x)+sin(y)の最大値を求めよ。

　解答

　y=-Yとおくと、
　cos(y)=cos(-y)=cosY
　sin(y)=sin(-Y)=-sin(Y)
　となるので、改めて条件を示すと
　0≦x≦π,-π≦Y≦0
　cos(x)-cos(Y)=a
　sin(x)-sin(Y)=s

　ベクトルOP=(cos(x),sin(x))
　ベクトルOQ=(cos(Y),sin(Y))
　とおく。
　cos(x)-cos(y)=aという条件のもとにsを最大にするには
　ベクトルOQ=-ベクトルOP
　となるようにすればよい。
　・・・

　とあるのですが、「cos(x)-cos(y)=aという条件のもとにsを最大にするには
　　　　　　　　　　　　ベクトルOQ=-ベクトルOPとなるようにすればよい。」
　の箇所がどうしても理解できておりません。

　お忙しいとは思いますが、アドバイスいただけると助かります。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。

「別解」だけあって、凝った解答だと思います。(^^;

まず、書かれている内容を図に描いてみることです。
ポイントは、「幅 aが一定のまま、左右にスライドできる」というところです。

最大となればよい「縦の差」と「円の直径」が結び付けられれば、
点P、Qが「真反対」にいればよいことは理解できるかと思います。

お礼

naniwacchi様

　ご回答頂きありがとうございました。
　やっと理解できました。
　お忙しいところお手数お掛けいたしました。

回答No.2

mnakauye

こんにちは、

　点Pと点Qは、単位円（半径１の円）上にありますから、cos(x)-cos(y)が一定　a　ということは、

下の図左でABの長さが一定ということになります。

　このとき、sin(x)-sin(y)というのは、図のCDの長さになります。

　ABが一定で、角X,Yが動くわけですが、２点A、Bから見ると、２点P.Qは　x軸に立てた垂線と円周との交点と見ることができます。

　このことから、ABを動かしたときに、CDが最大になる点Ｐ，Ｑを見つければいいわけですが、図の右のようにＡＢ一定で動かして考えてみると、Ｐ，Ｑは、x軸を挟んで反対にあったほうがCDが遠いですね。

　その中で、P,Qは円周上の二点ですから、CDが一番遠いのは、P,Qが真反対にあるときです。

　このとき当然ABの中点は原点です。

　つまり、ベクトルOQ=マイナスベクトルOP　（PとQが真反対）。

お礼

mnakauye様

　ご回答頂きありがとうございました。
　やっと理解できました。
　お忙しいところお手数お掛けいたしました。