恒等式(?)で、数値代入法による回答ですよね？

質問

x^n = (x-2)(x-1)Q(x) + px + q を満たすp,qを求めよ　という問題について
解答書はx=2,1を、代入して得られる式を変形して
p=2^n - 1
q=2 - 2^n として、逆の確認をしないで終わっていました。
これだとダメですよね？

問題集のヒントには「剰余の定理」と有ったのですがどうも恒等式っぽく思えてしまいます

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

＞これだとダメですよね？

ダメだというほうがダメです．

剰余の定理というのは

多項式f(x)を多項式g(x)に対して，
商と呼ばれる多項式Q(x)と
剰余と呼ばれる多項式R(x)が「一つだけ」存在して
以下の関係式を満たす．
f(x)=g(x)Q(x)+R(x)
ただし，R(x)の次数はg(x)の次数未満

ということで，問題文のpとqは
一個だけ存在していることがすでに
剰余の定理で示されているわけです．

ということで，代入すれば
その一個だけのものが判明するので
逆を示す必要はないのです．

なお，剰余の定理で出てくる式そのものは恒等式です．
恒等式ってのはある種類の式に対する総称なので
「定理」と「恒等式」を同列に扱ってはいけません．

一方，一般の恒等式の問題，たとえば
「。。。が恒等式になるような係数を求めよ」
タイプの場合，
本当にそんな係数が存在するのかは
あらかじめ分かっているわけではないので
「いつもで成り立つ」という条件（これが本当か分からない！）から
「特定の値で成り立つ」という特別な場合を使って求めた値が
逆に「いつでも成り立つ」ことを
確認する必要があります．

お礼

なるほど剰余の定理から一つしかないから明らかなんですね
あまり教科書に詳しく剰余の定理について載っていなかったので混乱していました

回答ありがとうございました

回答No.2

koko_u_u

解答の全文がないので判断しにくいですが、ANo.1 にて論述されているように、
剰余の定理によって、p, q が存在し、かつユニークである点が、解答の中で述べられていなければ、
不十分な解答と考えてよいでしょう。

例え問題のヒントとして「剰余の定理」を使え、とあったとしても、
実際に記述する解答の中でそれをどのように使ったのかが書かれていなければ×をもらうでしょう。

お礼

解答は代入して変形しただけでした
やはり『一つだけ存在する』事に言及しないといけませんね

回答ありがとうございました