等比数列の連立方程式は、両辺を割る？

質問

高校生じゃないけど、高校数学勉強してます。
よくあるマスター本でです。

そのなかの法則として
“等比数列の連立方程式は、両辺を割る”
なんてのがあります。

中学で数学をやめた私は連立方程式と言うと
みなさんご存知の方法を連想します。

その問題だとこんな連立方程式です。
ar=8　-----１
ar^3=128　-----２

１÷２　ar^3　　128
　　　　----- = ----
　　　　 ar　　　8

これを解くと、ｒ=4　a=2（もちろん+-）

わからないのは
１と２の割り方。わるとあんな式になるのがわからない。

問題全部かけなくてすんませんが、質問の意味わかる方、
よろしくお願いします。

回答No.4

noname#1617 · ベストアンサー

質問に対して回答いたします。
まず、Scotty99 さんが疑問を持たれているのは正しいです。
なぜなら（１）式を（２）式で割れば、すなわち（１）÷（２）を計算すると

ar^3　　 　128
----- = -----
ar　　　 　　8

にはなりません。ちなみに（２）÷（１）を計算すると上の式になります。

（１）÷（２）を計算すると正しくは

ar　　 　　　8
----- = ----
ar^3　　 　128

となります。

（割られる式）÷(割る式）

　　　　（割られる式）
＝－－－－－－－－
　　　　　（割る式）

となります。

よく分母・分子が逆になってしまう間違えが多いので気をつけてください。

以下は（２）÷（１）で考えることとします。

さて(１)式も(２)式も方程式です。
すなわち（１）、（２）ともに左辺と右辺がイコールで結ばれています。
つまり今、（１）、（２）それぞれ左辺の値と右辺の値が等しいです。

（２）÷（１）をするというのは、
（２）の左辺と右辺の値両方ともそれぞれ（１）の値で割るということです。
（１）は左辺と右辺の値が等しいのでどっちで割っても構いません。

でも後の計算のことを考えたら、

(２)の左辺は同じ文字aとrが入った(１)の左辺で割り、
(２)の右辺は数なので、（１）の右辺で割ったほうが良いですね。
(２)の左辺を(１)の左辺で割り、(２)の右辺を（１）の右辺で割ると
同じ値を同じ値で割るのだから
当然値が等しくなる上、きれいに約分することができます。

約分すると
　　ｒ＾２＝１６
というじつにシンプルな式になります。

おそらくScotty99さんは(２)÷（１）の意味は
「方程式まるごと方程式で割る」
というイメージがあったと思います。

そうではなく割り算は必ず(割られる式）と(割る式）が存在するので
割り算をするときはどれが割られる式でどれが割る式かつねに意識してください。
割られる式、割る式のところに方程式がくることはありません。
普通の値がきます。

今は（２）÷（１）で説明しましたが、当然（１）÷（２）で計算しても
最終の答えは同じになります。試してみてください。

お礼

＞つまり今、（１）、（２）それぞれ左辺の値と右辺の値が等しいです。

ここわかりやすかったです。拙い質問もつたわったようですね。
わざわざこんなに書いてくださてありがとうです。
これからもよろしくお願いします。

回答No.3

may-may-jp

あと、
128÷8
と
128／8（分数）
は同じ意味です。

お礼

わざわざ補足どうもです。

回答No.2

may-may-jp

左辺は左辺同士、右辺は右辺同士割る、ということです。
ただし、（2）÷（1）が正しいようですが。

この場合、
（左辺）＝ar^3÷ar＝r^2
（右辺）＝128÷8＝16
これから、（左辺）＝（右辺）よりrが求まり、式に代入するとaも求まります。

根拠としては、（1）式では、右辺と左辺が等しいです。（2）式でも、右辺と左辺は等しいです。ですから、（1）と（2）についてそれぞれ計算したものも、右辺と左辺は等しくなるはずです。

こんなんで回答になりましたでしょうか？

お礼

解決の糸口いみえてきました。
もうちょっとがんばります。

回答No.1

hitomura

(ar^3)/(ar)という式を１と２を使って書き換えていくと、
(ar^3)/(ar)=128/(ar)　…１を使用
　　　　　　=128/8　　　…２を使用
となります。それを略記して１÷２と書いている、と考えてはいかがでしょうか。

この方法で理解できなければ補足願います。

お礼

うまく質問の真意が伝わりませんでしたね。ちゃんと書かなくてはいけませんでした。でも回答ありがとうです。
またお願いします。