方程式についての疑問

質問

方程式の解とは方程式をなりたたせる未知数の値ですが、未知数＝～に変形することで、何故解が求まるのでしょうか。
何故でてきた未知数の値は方程式をなりたたせるとわかるのですか？

出来れば中学数学の範囲でお願いします<(_ _)>

回答No.5

tmppassenger

こういう事ですかね？
つまり、例えば 2x + 3 = -7 を変形して、結果 x=-5になったとして、そうすると「2x+3 = -7 『ならば』 x=-5」なのは分かるけど、逆にx=-5が2x+3=-7を満たすのは何故分るのか？ という事ですかね？

実際この辺の事情は教わらないかも知れませんが、ポイントは『同値変形』を繰り返す、ということ。

詳しく書くと、

先ず A. 2x+3 = -7 の両辺に-3を足して、B. 2x + 3 + (-3) = -7 + (-3)、つまり 2x = -10 に変形する。この時、AならばBが成り立ちますが、重要なのは、ここで 『BからAに戻すことが出来る』こと。
つまり、Bの 2x = -10の両辺に 3を足す事で、 Aの2x+3 = -7に戻す事が出来る。つまり、AならばBが成り立つと同時に、BならばAも成り立つ。つまり、AとBは「同値」であって、両辺に-3を足すという変形は「同値性を保つ変形」な訳です。

さらに繰り返して、Bの両辺に(1/2) を掛け、C: (2x) * (1/2) = (-10) * (1/2)、つまり x=-5を導く訳ですが、この変形もCの両辺に2をかける事で、Bの2x=-10に戻すことができる。よって、BとCも同値で、両辺に1/2を掛けるという変形は「同値性を保つ変形」な訳です。

よって、Aの2x+3 = -7 と Bの2x=-10は同値（AからBが導かれ、逆にBからAが導かれる）、Bと Cのx=-5も同値なので、AとCは同値。よって、2x+3=-7『ならば』x=-5であると同時に、x=-5『ならば』2x+3=-7も成り立つのです。

このように、方程式の解を求めるというのは、基本的にもとの方程式に『同値な変形を繰り返し施す』ことによって、x=??? のような形に変形していくのです。従って、途中の変形で『同値を崩す変形』（つまりAならばBは成り立つが、BならばAが成り立つかすぐには分からないような変形）を施す場合は、後で「出て来た未知数の値が本当に方程式をなりたたせるのか？」を確認する必要があったり、別の方法で同値性を確保する必要があったりします。

分からないかも知れませんが書いておくと、
例えば、高校数学だと、「根号を含む方程式」が登場し、この時にこの「同値性を保っているか」が常に問題になります。
（ここから先は良く分からないかもしれませんが）
例えば (√x) = 2x-3 のような方程式を解く時、まず両辺を2乗して x = (2x-3)^2 、と変形するのですが、ここで同値性が崩れます。従って、何らかの考察が必要になってきます。

回答No.4

nihonsumire

それは、等式の性質を理解すれば分かると思います。すなわち、等式は両辺に同じ数を足しても引いても掛けても割ってもいいという性質です。
解を成り立たせると言うのは、1次方程式ax+b=0を直線の式y=ax+bでも表せて、y=0となる点、つまりその直線がx軸と交わる点がただ一つであることが分かります。

回答No.3

chie65536（@chie65535）

＞方程式の解とは方程式をなりたたせる未知数の値ですが

違います。

方程式を解く、とは、方程式を未知数ｘに付いて解く、という事で、ｘに付いて解く、とは、ｘ＝～～の形に変形する、という意味です。

そして、ｘ＝～～の「～～」の部分を方程式の解、と呼びます。

つまり「方程式を解く」とは「未知数ｘ＝～～の形にする」という意味です。

＞何故でてきた未知数の値は方程式をなりたたせるとわかるのですか？

元の方程式を常に成り立つ状態のまま変形して、ｘ＝～～の形にする、のですから「最初の式も、途中の式も、最後の式も、常に成り立った状態」です。

なので、最終的なｘ＝～～の式も、変形前の最初の式も、常に成り立ちます。

回答No.2

w4330

「方程式の解とは方程式をなりたたせる未知数の値」ではない
方程式の解とは方程式を並び変えて答えを導いたものです

例えば
2＋Y＝3
これを並び替えて
Y＝3ー2
計算できる所を計算すると
Y＝1・・・これが解

回答No.1

hiro_1116

式の変形は、必ず　＝　の左右が等しくなるようなルールに基づいて行っているので、　＝　の左側が未知数になるように　未知数＝　の形に変形すれば、それが未知数の値になります。