数IIIの質問です！

質問

y=2^3x+4^(x+1)+2^(x+2)/2^x+2を簡単にせよ。またこの逆関数を求めよ。

答え：y=4^x+2^(x+1) , y=log2 (√(x+1) -1)
(05 芝浦工大)

簡単にする手順がわかりません。教えてください！
また、逆関数を
y=4^x+2^(x+1)
=2^2x+2・2^x
=(2^x)^2+2・2^x
2^xをXとして
=X^2+2X
y+1=X^2+2X+1
y+1=(X+1)^2
√(y+1)=X+1
√(y+1)-1=X
x^2を戻して
√(y+1)-1=x^2
log2(√(y+1)-1)=x
y=log2(√(x+1)-1)
というのを答えから逆算して出したのですが、元の式からどのように発想すればいいか教えてください！
やはり回数がモノを言うんでしょうか…？

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> 簡単にする手順がわかりません。教えてください！

2^xをXと置き換えてください。
すると

y=2^3x+4^(x+1)+2^(x+2)/2^x+2
↓
y = (X^3 + 4X^2 + 4X) / (X + 2)

となります。
後は筆算を使って、整式の割り算をして下さい。

逆関数に関しては、質問文に書いてある通りに考えて求める事になると思います。
結局のところ、どちらの問題も「2^xを別の文字で置いてみると楽になる問題」なのだと思います。

お礼

すっきり解けました！
ありがとうございます！