フーリエ級数の問題

質問

パーセバルの等式を利用して
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∫-πからπの(cosx)^6dxの値を求めよ。

という問題なのですが、パーセバルというのを教科書通りにやったら、答えが０になってしまいました。

（ちなみに、(cosx)^3=3/4cosx+1/4cos3xというヒントがありましたので使いました。）

しかし、これを高校数学に基づいて普通に積分（２倍角の公式等を用いて積分）をすると、答えは
5π/8になりました。

どういうことなんでしょうか。自分の単なる計算ミスなんでしょうか。

誰か教えてください。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

パーセルの等式を利用しても　５π/８　になりましたよ。

　f(x)={cos(x)}^3 とおきますと　ヒントに従って　3倍角の公式から

　　f(x)=(3/4)cos(x)+(1/4)cos(3x)

となりますので、f(x)のフーリエ展開の式　a0/2+Σ[n=1→∞] {an cos(nx)+bn sin(nx)} と比較して次の関係を得ます。

　　a1=3/4, a3=1/4, ai=0 (i=0,2,4,5,6,・・・), bi=0 (i=1,2,3,・・・)

　あとはパーセルの等式にそのまま適用します。

　∫[x=-π→π] {cos(x)}^6 dx =π{a1^2+a3^2) =π(1/16+9/16) =5π/8

お礼

ああ、そうか。anはn=1とn=3のときだけ確かに整数になりますね。それ以外は確かに０です。

ちょっと勘違いしてました。ありがとうございました！

補足

ええと、a0=0 an=0になってしまうんですがこれはあってますか？

回答No.1

Tacosan

「パーセバルの等式」を使って, どのように計算したんでしょうか?
素直に計算すれば
π[(3/4)^2 + (1/4)^2] = 5π/8
で終わり... だよねぇ.