スターリングサイクルの熱効率を求めたいですのですが分かりません。

質問

スターリングサイクルの熱効率を求めたいですのですが分かりません。
状態Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄの圧力、体積、温度はそれぞれ(Pa,Va,Ta)(Pb,Va,Tb)(Pc,Vc,Tc)(Pd,Vc,Td)。比熱Cp、Cvは一定とする。
等温過程（Ａ→Ｂ,Ｃ→Ｄ）と定積過程（Ｂ→Ｃ,Ｄ→Ａ）の組み合わせ。高温の熱源（Th）にＡ→Ｂで接触、低温の熱源（Tl）にＣ→Ｄ接触している。
こういう問題なんですが、解いても答えが合いませんでした。違うところがあったら指摘してください。お願いします。
Ａ→Ｂの過程を(1)とし、Ｂ→Ｃの過程を(2)、Ｃ→Ｄの過程を(3)、Ｄ→Ａの過程を(4)とする。

Ｑ(1)＝Cv(Th-Tl)
Ｑ(2)＝R×Th×log(Vc-Va)
Ｑ(3)＝Cv(Tl-Th)
Ｑ(4)＝R×Tl×log(Va-vc)

η＝1-{Cv(Th-Tl)+R×Th×log(Vc-Va)}/{Cv(Tl-Th)+R×Tl×log(Va-vc)}

回答No.2

yokkun831 · ベストアンサー

理想的なカルノーサイクルでは，熱効率は一意的に
η= ΔT/Th = 1 - Tl/Th
というわけですね。

http://ja.wikipedia.org/wiki/カルノーサイクル

一般にスターリングエンジンでD→A，B→Cの定積過程における熱交換が無視できる場合に，
η = [ R(Th - Tl)log(Vc/Va) ] / [ Cv(Th - Tl) + RTh log(Vc/Va) ]
≒[ R(Th - Tl)log(Vc/Va) ] / [ RTh log(Vc/Va) ]
= (Th - Tl)/Th = 1 - Tl/Th
となると思います。

回答No.4

yokkun831

#2
＞D→A，B→Cの定積過程における熱交換が無視できる場合に，
は，定積過程をたとえば断熱過程に置き換えた場合，というスターリングサイクルを逸脱する条件を述べたものと解釈してください。

私も正直のところ，スターリングサイクルの熱効率をカルノーサイクルのもので代用する記述をいくつか見かけたことがあり，理論熱効率とのギャップを埋めきれずに疑問符を保留していましたが，#3の回答でおかげさまで疑問が払拭しました。ありがとうございます。

熱交換器の話，理論熱効率とシステムとしての効率を区別すべきこと等，大変明快な説明で自分自身の疑問も解けました。

参考として，カルノーサイクルについては下記の説明が親切です。

http://homepage2.nifty.com/eman/thermo/carnot.html

お礼

ＨＰまで紹介ありがとうございます。おかげで助かりました。

回答No.3

htms42

熱機関の効率は
（外部にした仕事）／（外部から入ってきた熱量）
です。
＃２
＞D→A，B→Cの定積過程における熱交換が無視できる場合に，

どうして熱交換が無視できるのでしょうか。
定積過程Ｄ→Ａは温度差を作り出している過程です。これで初めて熱機関になります。
準静的に加熱しています。Ｂ→Ｃは準静的に冷却しています。

２つの定積過程での熱量の出入りは等しいですが加熱と冷却は別の事です。
冷却で外に出て行った熱をそのまま加熱に使う事で元に戻せばＤ→Ａ、Ｂ→Ｃは打ち消すので考えなくてもいいとしている解説もありますが「？」です。
http://www.nmri.go.jp/eng/khirata/stirling/cycle/index.html

蓄熱式熱交換機（再生器）を使うと書かれています。
こういう具体的な熱再生システムを考えることは理論熱効率を考えることとは別の事です。
出て行った熱をいくら溜めても温度差を作ることはできません。

入ってきた熱の総量で効率を考えるという事であれば効率の式に出てくる分母の熱量はＱ(Ｄ→Ａ)＋Ｑ(Ａ→Ｂ)になります。Ｑ(Ｂ→Ｃ)をどのように再利用するかはこのサイクルの効率とは別の話です。再利用できればこのサイクルを含むシステムの効率はそのまま外部に捨てた時よりも高くなります。

定積加熱、定積冷却の過程を含むサイクルは他にもあります。オットーサイクルと呼ばれているサイクル（ガソリンエンジンのモデルサイクル）は定積加熱、断熱膨張、定積冷却、断熱圧縮です。効率は加熱の時に入ってきた熱量で外部にした仕事を割っています。冷却で出て行った熱量との差で割っているのではありません。（このサイクルでは定積過程でしか熱の出入りがありません。Ｑin－Ｑoutがした仕事になります。入ってきた熱量を差Ｑin－Ｑoutで考えるということをやってしまうと　効率=1　という変な結果になってしまいます。）

スターリングサイクルだけでなぜ定積加熱と定積冷却の熱量を打ち消してしまって効率を考えるという事が行われているのでしょうか。不思議です。カルノーサイクルの効率と同じ値になるという事を示したかったからかもしれません。

お礼

ありがとうございます。
解答だけでなく自身のサイクルの謎も解けました。分かりやすかったです。

回答No.1

yokkun831

結果に影響はありませんが，サイクルと等温・定積，熱量の計算がずれているようです。

決定的なミスは，積分の間違いです。

A→B（等温膨張過程とします）において，
Qin = Wout = ∫[Va～Vc]pdV
= ∫[Va～Vc] (RTh/V)dV
= RTh [ logV ]_Va^Vc
= RTh ( logVa - logVc )
= RTh log(Va/Vc) < 0
∴Qout = RTh log(Vc/Va) > 0

となります。結果は，

η = [ R(Th - Tl)log(Vc/Va) ] / [ Cv(Th - Tl) + RTh log(Vc/Va) ]

となるようですが，いかがでしょうか？

補足

すいません書き間違えていました。
Ｄ→Ａが(1),Ａ→Ｂが(2),Ｂ→Ｃ(3),Ｃ→Ｄ(4)でした。

答えをみると1-Tl/Thでした。