２元１次方程式とグラフ

質問

２元１次方程式とグラフの問題ですが、
２つの直線ｌ：ｘ＋２ｙ－４＝０，ｍ：ｘ－ｙ－１＝０の交点Ｐの座標は（ア）となる。また直線ｙ＝ａｘ－１とｌ，ｍの交点をそれぞれＡ，Ｂとするとき△ＰＡＢの面積が９となるａの値は（イ）である。
ア，イを求めよ、という問題です。

考え方が分かりません。

ちなみに答えは、
ア：（２，１）　　イ：ａ＝－１／８，－５／４です。
宜しくお願いします。

回答No.4

fushigichan · ベストアンサー

kuro524さん、こんばんは。

＞２つの直線ｌ：ｘ＋２ｙ－４＝０，ｍ：ｘ－ｙ－１＝０の交点Ｐの座標は（ア）となる。

これは、x,yの連立方程式とみて、解けばいいですね。

x+2y-4=0
x-y-1=0
これから、y=x-1として、lの式に代入すると、
x+2(x-1)-4=0
3x-6=0
x=2
y=1
となるので、交点Ｐの座標は、(2,1)と求められます。

＞また直線ｙ＝ａｘ－１とｌ，ｍの交点をそれぞれＡ，Ｂとするとき△ＰＡＢの面積が９となるａの値は（イ）である。

こちらは、ちょっと難しいですが、
y=ax-1
と、直線l,mとのそれぞれの交点の座標をまず出しましょう。

y=ax-1とx-y-1=0との交点Ｂをまず求めます。
x-y-1=0より、y=x-1を代入して
y=ax-1=x-1
(a-1)x=0
a=1のとき、２つの直線は、重なり同じ直線となる。
ここでは、直線は重ならない（三角形ができるためには重なってはいけない）ので
a≠1
よってx=0このとき、y=-1
つまり、x-y-1=0のy切片(0,-1)が交点Ｂとなります。

y=ax-1とx+2y-4=0の交点Ａを求める。
x+2y-4=0より、2y=4-x,y=(4-x)/2
これを代入して
y=ax-1=(4-x)/2
2(ax-1)=4-x
2ax-2=4-x
(2a+1)x=6
ここで、a=-1/2のとき、0=6となっておかしいので、a≠-1/2
このとき、
x=6/(2a+1)
また、このときy={4-6/(2a+1)}/2=(4a-1)/(2a+1)

となるので、交点Ａは(6/(2a+1),(4a-1)/(2a+1))
となります。
これは、aの値が変化するにつれて、変化しますが
点Ｂおよび点Ｐの座標は一定ですね。
このことから、点Ａから直線ＢＰにおろした垂線の足をＨとすると、

（三角形ＡＢＰの面積）＝（底辺ＢＰ）×（ＡＨの長さ）×1/2・・・（☆）

で表されることに注目しましょう。
さて交点Ａは(6/(2a+1),(4a-1)/(2a+1))
からＨまでの距離｜ＡＨ｜は、

｜ＡＨ｜＝|1*6/(2a+1)-1*(4a-1)/(2a+1)-1|/√(1^2+1^2)
=|-6(a-1)/(2a+1)|/√2=|6(a-1)/(2a+1)|/√2
となります。

あと、｜ＢＰ｜＝√{(2-0)^2+(1+1)^2}=2√2
であることから、
これを（☆）に代入すると、

三角形ＡＢＰの面積＝{|6(a-1)/(2a+1)|/√2}*2√2*1/2=9
整理して、

6*|(a-1)/(2a+1)|=9

ここで、絶対値がついているので、場合わけしないといけません。
（絶対値の中身）≧0のときと
（絶対値の中身）＜０のときで場合わけです。

(a-1)/(2a+1)の符号を調べる⇔(a-1)(2a+1)の符号によって場合わけ

1) (a-1)(2a+1)≧0のとき、
すなわち、a≦-2,-1/2<aのとき（←a=-1/2は含まないことに注意する）
このとき、絶対値はそのままはずれて、

6(a-1)/(2a+1)=9
6(a-1)=9(2a+1)
6a-6=18a+9
12a=-15なので、a=-5/4　これは条件を満たす。

2) (a-1)(2a+1)<0のとき
すなわち、-2<a<-1/2のとき、

-6(a-1)/(2a+1)=9
-6(a-1)=9(2a+1)
-6a+6=18a+9
24a=-3
a=-1/8　これは、条件を満たす。

よって1)2)の場合から、条件を満たすaの値は
-5/4と-1/8である。

これは、かなり計算がややこしいですね。
おちついて交点を求めてから、場合わけすることが必要になってきます。
頑張ってくださいね。

回答No.3

mirage70

ｌ：ｘ＋２ｙ－４＝０，ｍ：ｘ－ｙ－１＝０のmを２倍して、Iに足せばでてきます。(I+2*m)
此により、I,mの交点は、（２，１）
直線ｙ＝ａｘ－１とｍ：ｘ－ｙ－１＝０の交点は、(0,-1)
よって、２点（２，１）、(0,-1)と後１点は、
直線ｙ＝ａｘ－１と直線ｌ：ｘ＋２ｙ－４＝０の交点と云うことが判ります。即ち、直線ｌ：ｘ＋２ｙ－４＝０の上に交点があると言うことが判りますので、この交点のX座標をAとすると、Y座標は(-A/2)+2と言うことが判ります。この時の注意として、A>2とA<2に分けて別々に計算する必要がでてきます。
A>2のときには、(2,1)よりy=1の直線を引き、(A,(-A/2)+2)より、此を満たすX軸に平行な直線を引き、次に(-A/2)+2)よりY軸に平行な直線を引き、Y軸、及び此等の直線に囲まれた長方形の面積を計算して、不要の３個の３角形の面積を引けば此が９と云うことで、Aの値を求めて、次に此のY座標((-A/2)+2)を求めて、(0,-1)を利用して、傾きを求めれば、aが求まります。
同様に、A<2の時も同様な操作を繰り返せばよいです。

回答No.2

eatern27

私がこの問題にであったらどう考えてどう解くかを書いてみます。

(ア)
lとmを連立すれば解ける。

(イ)
直線mもy=-ax-1も点(0,-1)を通るから点Bの値はaによらず、(0,-1)だ。
って、ことは、PB=2√2で一定だ。
三角形の面積公式は底辺×高さ÷２だから、PBを底辺とみれば、高さが9√2/2であればよい。高さってのは点Aと直線mの距離のことだから、A(x、y)とおけば、
点と直線の距離の公式でx、yの関係式が作れる。
点Aは直線l上にある点だから、lの方程式に代入すれば、x、yの関係式が作れる。
x、yの関係式が2本できたから、x、yの値が求まる。つまり、点Aの座標が求まる。
点Aと点Bの傾きがaだから、aも求まる。

回答No.1

kohalu

（イ）は分からないので（ア）のみ
回答させて下さい…

交点ってことは交わるのですから、
l、mの式がイコールでつながればいいんです。
-1/2x+2=x-1
って式を解いてｘを求め、
そしてｙに代入したら（２，１）
が求められますよ！