（a→-3b→+p→）・（a→ー３ｂ→＋ｐ→）＝４

質問

与えられたベクトルＯＡ＝a→、ＯＢ＝ｂ→に対して、ＯＰ＝ｐ→が次の条件を満たすとき、点Ｐはそれぞれどんな図形を描くか。

（４）（a→-3b→+p→）・（a→ー３ｂ→＋ｐ→）＝４
｛p-(3b-a)}・｛p-(3b-a)｝＝４と式を変形して
３ｂ－a＝ｃより
（ｐ－ｃ）・（ｐ－ｃ）＝２｀２
よって３ｂ－aの終点を中心とし、半径２の円となる。（答）

この問題よくわかりませんでした。
題意の式を変形して、＝Ｃと置いたのは式が確かに見やすくなるのですが、これは、理由とかあるのでしょうか？なんとなく形が同じなので
同じものに置き換えても良いと考えてもいいのですが、発想が浮かびませんでした。どうしたらいいですか？？
質問２つめは
（ｐ－ｃ）・（ｐ－ｃ）＝２｀２と式がなったのですが、
この式を見てわかることは、＝の先の２｀２という部分で円の式とわかるのですが、（ｐ－ｃ）・（ｐ－ｃ）から何か気がつくことってあるのですか？？もしかしてそれがわかればＣと置き換えた意味もわかる気がします。つまり問題を解く際に気がつくと思います。。
質問３：よって３ｂ－aの終点を中心とし～とありますけど、
３ｂ－aの終点を中心とし？ってどういう意味ですか？３ｂ－aを置換えたぐらいしかこの問題は理解できませんでした。＞＿＜
誰か教えてくださいお願いします。

回答No.2

vigo24 · ベストアンサー

>題意の式を変形して、＝Ｃと置いたのは式が確かに見やすくなるので すが、これは、理由とかあるのでしょうか？なんとなく形が同じなので
同じものに置き換えても良いと考えてもいいのですが、発想が浮かびませんでした。どうしたらいいですか？？

この質問ですが、あなたの学習の段階では別に置き換えに気づく必要はないですし、別に置き換えなくてもいいと思います。ただちょっと見やすくなるかなという程度です。
置き換える必要はないと判断する人もたくさんいると思います。
置き換えるかどうかは個人の好みの問題で置き換えても置き換えなくても数学の論理には全く影響ないですし、答えが合えば置き換えなくても
減点無しの満点がもらえます。

次に（ｐ－ｃ）（ｐ－ｃ）＝２＾２・・・(1)の式についてですが、
左辺すなわち「＝の左側」ですが
（ｐ－ｃ）（ｐ－ｃ）＝｜ｐ－ｃ｜＾２となります。・・・(2)
＾２は２乗の意味です。
そして｜p－c｜はベクトル（ｐ－ｃ）の大きさです。
(2)に関しては同じベクトルの積はベクトルの大きさの２乗というベクトルの基本公式です。
すなわちaa＝｜a｜^2の公式です。（これに関しては教科書に太字で載っているので見てください。）

(2)を用いると(1)は
（p－c）（ｐ－ｃ）＝｜ｐ－ｃ｜＾２
＝｜ｐ－（３ｂ－a)｜^２＝２＾２・・・・(3)
となります。

(3)においてベクトル（ｐ－（３ｂ－a））を考えます。
この時座標（x軸とy軸）を作り、原点０を取り、そこから適当にベクトルｐ、ベクトル（３ｂ－a)をとってください。
そうするとベクトル（ｐ－(３ｂ－a))は点(３ｂ－a)から点pに向かう矢印（ベクトル）・・・(4)になると思います。
式(3)は「その矢印の長さの２乗」が「２の２乗」になるということです。
それは「(4)の矢印の長さ」が２になるということです。
また言い換えますと「点（３ｂ－a）から点pに向かう矢印の長さ」が２になるということです。・・・(5)

ゆえに条件(5)を満たす点ｐが答えとなります。

条件(5)を見てみると、点（３ｂ－a)を中心とした半径２の円上に点p
を定めるとその点は全て条件(5)｛「点（３ｂ－a）から点pに向かう矢印の長さ」が２｝を満たすことが分かります。

すなわち答えは点（３ｂ－a)を中心とした半径２の円全体となります。

分かりましたでしょうか？
自分で図を書いて考えてみてください。

回答No.1

noname#24129

ベクトルを成分表示で、p=(x,y)と表すことにします。このとき、

　p^2=x^2+y^2

　p^2=|p|^2cos0

　∴　x^2+y^2=|p|^2

ここで、ベクトルpの長さが、rと与えられたなら、

　x^2+y^2=r^2

これは、原点中心、半径rの円の方程式に他なりません。

また逆に、原点中心、半径rの円の方程式はベクトル方程式で表せます。

すなわち、

　p^2=r^2

です。

座標を平衡変換すると、いいかえると、ベクトルを平行移動すると、

　(p-q)^2=r^2

ただし、q=(x1,y1)は平行移動を示すベクトルです。

このベクトル方程式は、中心(x1,y1)、半径rの円の方程式に相当します。

以上は、形式的な考えですが、この円のベクトル方程式の意味するのは、

qを原点とする座標上で、常に一定の大きさrであるような位置ベクトルpの存在です。それは、原点qから、等距離rにある点の集合であるともいえます。つまり、円ですね。

最初の質問
＞・・・理由とかあるのでしょうか？

お考えのとおり、複雑なものを簡単に表して、見やすくするためです。

＞・・・どうしたらいいですか？？
置き換えて、複雑なものを簡単にするということに、なれることです。

＞質問２・・・＝の先の２｀２という部分で円の式とわかるのですが、（ｐ－ｃ）・（ｐ－ｃ）から何か気がつくことってあるのですか？？

「＝の先の２｀２という部分で円の式とわかる」ことはありません。（ｐ－ｃ）・（ｐ－ｃ）＝２^２から、円の式だというとに気がつきます。

＞質問３・・・３ｂ－aの終点を中心とし？ってどういう意味ですか？

→　これをベクトルcとすると、この矢印の先(とがったほう)が、終点です。