指数関数についてしつもんです。

質問

指数関数についてしつもんです。

a^x/3+a^-x/3=5のときa^x+a^-xを求めなさいという計算なのですが、a^x/3+a^-x/3を二乗した時の２が残り、(a^x+ a^-x)(a^2x- 1 + a^-2x)=a^3x + a^-3x の公式が使えなくて困っています。この場合、－１にするために２－３をしてしまっていいのでしょうか？そして答えは、5^3-3で１２２なのでしょうか？数学があまり得意ではないのでなるべく基礎からご教授ねがいます。

回答No.1

yespanyong · ベストアンサー

a^(x/3) + a^(-x/3) = 5 のときの a^x + a^(-x) を求めるという問題でよろしいでしょうか。

a^(x/3) = t とおくと
t + 1/t = 5 のとき t^3 + 1/(t^3) はいくらか
という話になります。

このとき
(t + 1/t)^3 = 5^3 = 125

左辺を展開すると
t^3 + 3t + 3/t + 1/(t^3) = 125

3t + 3/t を右辺に移項して整理すると
t^3 + 1/(t^3) = 125 - 3(t + 1/t)

t + 1/t = 5 なので
t^3 + 1/(t^3) = 125 - 3 * 5 = 110

したがって答えは110です。

お礼

ご回答の方ありがとうございます。また詳しい説明の方とても分かりやすかったです。おかげで解決いたしました。

回答No.2

foriver7

解答は下に完璧なyespanyongさんの解答があるのでそれで良いと思いますが、敢えてabbeyrさんの説明に答えますと・・

abbeyrさんの発想に従って
(a^x+ a^-x)(a^2x- 1 + a^-2x)=a^3x + a^-3x・・・(☆)
この式を使って解いてみます.

>１にするために２－３をしてしまっていいのでしょうか？
とありますが、２というのは(a^x+a^(-x))を２乗したときに出てくる２のことですね。結論からいいますと"２－３"ではいけません。何故かといいますと

(a^x+a^(-x))^2 = a^2x+a^(-2x)+2　ですので
a^2x -1 + a^(-2x)=(a^x+a^(-x))^2 -3　　(3は後から引くのではなくここで引いておくのです!)

は、成り立つのは理解できてるようなので、これをそのまま(☆)の左辺の括弧の中に戻してあげると・・・
(左辺)=(a^x+ a^(-x)) {(a^x+a^(-x))^2 -3}
=(a^x+ a^(-x))^3 -3(a^x+ a^(-x)) (分配法則)

なので答えは5^3 -3 ではなく5^3 -3*5=110となります。

ちなみに、a^x+a^(-x)では文章が追いづらいと思いますのでyespanyongさんと同じように
t=a^x+a^(-x)と置いて先ほどの話をもう一度書いておくと
(左辺)=t(t^2 -3)
=t^3 -3t
=5^3 -3*5
=110
となります。

お礼

ご回答の方ありがとうございます。また詳しい説明の方とても分かりやすかったです。おかげで解決いたしました。