y=ax^2-1 y=-b^2+1 が直交するとき（a>0,b>0)

質問

y=ax^2-1 y=-b^2+1 が直交するとき（a>0,b>0)
(1)a^2+b^2の最小値は？(2)2つのグラフで囲まれた面積の最大値は？
という問題で
直交条件より、8ab=a+bという式はでてきたのですがそこからわかりません。
お願いします

回答No.3

spring135

y=ax^2-1 y=-bx^2+1の交点のx座標は
x=±√(2/(a+b))=±r　　(1)
接線の傾きは
y'=2ax, y'=-2bx
直交するためにはこれらの積が-1
これより(1)を用いて8ab=a+bが導かれる。

(1)8ab=a+b=pとおくと

a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=p^2-2(p/8)=p^2-p/4=f(p)

a,bを解とする２次方程式は
t^2-pt+p/8=0
これが正の実解を有するためには
D=p^2-4(p/8)≧0
p＞0
これらより
p≧1/2

このときf(p)の取る値はグラフよりf(p)≧1/8
すなわち
a^2+b^2の最小値は1/8

(2)2つのグラフで囲まれた面積S
S=∫(-r→ｒ）(-(a+b)x^2+2)dx
=2∫(0→ｒ）(-(a+b)x^2+2)dx
=2[-(a+b)x^3/3+2x](0→ｒ）
=(8/3)√(2/(a+b))=(8/3)√(2/p)

p≧1/2より
Sの最大値は16/3

回答No.2

ET-tarou

すみません
二つ目の式をy=bx^2+1かと思い勘違いしてました
ただa^2+b^2を(a+b)^2-2abに変形するとこまでは正しいはずです

a^2+b^2とかはa+b,abの組み合わせで表せられます

あとy=b^2+1って書き違いじゃないかな？

回答No.1

ET-tarou

a+b=8abをa^2+b^2=(a+b)^2-2abに代入してください
そしてab=Xとかっておいたら、f(x)=64X^2-2Xって関数に変形できるのでそれから平方完成かな

直行条件からもとめた式が正しいかは確かめてないです

あと面積は上に凸なのとx軸、下に凸なのとx軸の和ですから、二つに分けて積分して足すんじゃないかな？