n正の整数、a実数、すべての整数mで

質問

n正の整数、a実数、すべての整数mで
m^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)>0
を満たすaの範囲をnで表せ。

次のように考えました。
(1)判別式＜０としましたが、mが実数だとこれで良いと思うが
整数なので、補正が必要になるので、しかもそれは煩雑なので
この考えを捨てる。
(2)a>(2n+1)(m^2+m)/(2nm-n^2+n) ただし2nm-n^2+n<0
同様に2nm-n^2+n>0のときのグラフも考える。
とし、右辺のグラフから、そのグラフの最大値を考えようとしました。
　しかし、これも収拾がつかない。
(3)因数分解ができないか、これはできない。
等々かんがえましたが、どんな解法になるのかわかりません
よろしくおねがいします。

回答No.4

nag0720 · ベストアンサー

判別式＝(a-1)^2-4an^2/(2n+1)
＝a^2-{2+4n^2/(2n+1)}a+1
＝a^2-{(2n+1)+1/(2n+1)}a+1
＝{a-(2n+1)}{a-1/(2n+1)}＜0
より
1/(2n+1)＜a＜2n+1

a≧(2n+1)のとき、m=nとすると
m^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)＝n(n+1){1-a/(2n+1)}≦0

a≦0のとき、m=0とすると
m^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)=an^2/(2n+1)≦0

0＜a≦1/(2n+1)のとき、
{m-(a-1)/2}^2-(a-1)^4/4+an^2/(2n+1)
より最小になるのは、m=(a-1)/2のときであるが、
-1/2＜(a-1)/2≦-n/(2n+1)＜0
なので、m=0のとき最小になる（放物線の軸がm=0に近いので）。
よって最小値は、
m^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)＝an^2/(2n+1)
よりa＞0なら、m^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)＞0

以上より、
0＜a＜2n+1

お礼

大変ありがとうございます。
考えていましたが、分からなくてもやもやしていました。
m^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)＞０とならない部分を
考えていくという方針が参考になりました。
正面突破でなくて、周りから攻めるといった感じかと
思います。納得いく解答ありがとうございます。

回答No.3

muturajcp

n正の整数
X={a|a実数,∀整数m→f(m,a,n)=m^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)>0}
Y={a|a実数,0<a<2n+1}
a∈Xとする
m=0のとき
f(0,a,n)=an^2/(2n+1)>0だからa>0
m=nのとき
f(n,a,n)=(2n+1){n^2-(a-1)n}+an^2=n(n+1)(2n+1-a)>0だから　a<2n+1
0<a<2n+1
a∈Y
X⊂Y

a∈Y
0<a<2n+1
0<a≦1のとき
m<m+1-a<1+m
m≧0のとき0≦m^2≦m(m+1-a)=m^2-(a-1)m
m<0のとき0≦(-1-m)(-m)<(a-m-1)(-m)=m^2-(a-1)m
f(m,a,n)=m^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)>0
a∈X

1<a<2n+1のとき
(2n+1)(a-1)^2-4an^2
=(2n+1)a^2-2a(2n+1)-4an^2+2n+1
=(2n+1)a^2-2a(2n^2+2n+1)+2n+1
=(2n+1){a^2-2a(2n^2+2n+1)/(2n+1)+1}
=(2n+1){a-(2n+1)}{a-1/(2n+1)}
<0
↓
4an^2-(2n+1)(a-1)^2>0
↓
(m-(a-1)/2)^2-(a-1)^2/4+an^2/(2n+1)>0
↓
f(m,a,n)=m^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)>0
a∈X
Y⊂X
X=Y
∴
0<a<2n+1

お礼

ありがとうございます。
Y={a|a実数,0<a<2n+1}
これをどうやって、もとめたのかよく分かりませんでした。
簡単に言うと、0<a<2n+1はm^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)>0}であるため
必要十分条件を示しているのでしょうか。

回答No.2

alice_44

＞ 補正が必要になるので

↑ x が整数のとき、x^2 + x の最小値は？ とか、
そういうことを考えているんですよね。 だったら、
判別式へ持ち込まないで、二次関数の最小値の話にすればいい。

f(m) = m^2 - (a-1)m + an^2/(2n+1) を平方完成して
f(m) = { m - (a+1)/2 }^2 + { - (a+1)^4/4 + an^2/(2n+1) } だから、
f(m) の最小値は、m = [ (a+1)/2 ] または m = [ (a+1)/2 ] + 1 のとき。
最小値が正であれば、全ての m で f(m) > 0 と言えるから、
f( [ (a+1)/2 ] ) > 0 かつ f( [ (a+1)/2 ] + 1 ) > 0 となるような
a の範囲を求めればよい。 ただし、[ ] は、実数の整数部分を表す。

(a+1)/2 の整数部分を k、小数部分を x と置いて、
0 ≦ x < 1 の範囲に x の解があるような k を求める。

お礼

ありがとうございます。
　f( [ (a+1)/2 ] ) > 0 かつ f( [ (a+1)/2 ] + 1 ) > 0 となるような
　a の範囲を求めればよい。
ここまでは理解できました。
あとは、そのためには、どう考え、どんな計算をしていくかが
見えていません。
＞　0 ≦ x < 1 の範囲に x の解があるような k を求める。
文字がいろいろ入ってくるとどんな条件関係になってくるのか、理解できなくなってきます。
考えたいとおもいます。

補足

お礼の追伸
　f( [ (a+1)/2 ] ) > 0 かつ f( [ (a+1)/2 ] + 1 ) > 0 となるような
　a の範囲を求めればよい。
これ以後の解答を考えてみましたが、よく分かりません。

できれば、解答をおねがいします。

回答No.1

nag0720

判別式＜０
として求めていいのでは？

その結果が、
f(n)＜a＜g(n)
となったとしたら、それは十分条件ですが、
a≦f(n)、a≧g(n)のとき
m^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)≦0
となるmが存在することを示せば、
f(n)＜a＜g(n)
は必要十分条件となります。

お礼

ありがとうございます。
方針として、判別式＜０を
使っていくのがよいというのは
わかりましたが、実際にどんな計算を
していったらよいのかまでは、
理解できていません。