整数問題が分かりません（訂正）

質問

前回、指数を誤ってました。正しくは３次式で、4x^3－（a－2）x－（a＋4）＝0（aは整数）
が整数でない正の有利数の解を持つとき、この解を求めよ。
です。因数分解しようにもなりませんでした…
考え方を教えてください。

回答No.2

tmpname · ベストアンサー

正直に方程式
4x^3-(a－2)x-(a＋4)＝0が、
x=p/q（但し「p,qは互いに素で共に正の整数で、かつq≧2」）
を解に持つとします。
　＊「」内の条件に注意してください。x,p,qがこう置ける理由は
　　何ですか？

すると
(4p^3)/q = - [-(a-2)pq-(a+4)q^2] … (1)
と変形出来ます。(1)の右辺は整数である為、左辺も又整数。
今pとqは互いに素であるから、qは4の約数であり(＊)、
かつqは1でないからq=2,4です。
　＊qが4の約数になる理由は何でしょう

そこで
A. q=2の時
(1)を整理して
p^3 - (a-2)p -2(a+4) = 0であることから
a(p+2) = p^3+2p-8 p>0であるからp+2≠0で、
a = (p^2-2p+6) + (-20)/(p+2)
a,pが整数であることから、p+2は20の約数でかつ3以上。
かつpはq(=2)と互いに素であることから
pは奇数、よってp+2も奇数。これに当てはまるのは
p=3 (p+2=5)のみです。この時a=5

B. q=4の時
(1)は
p^3 - 4(a-2)p -16(a+4)=0となって、整理すると
4a(p+4) = p^3 +4(2p-16)
今左辺は4の倍数、つまり2の倍数なので右辺も2の倍数。
従ってp^3、よってpが2の倍数ですが、pとqが互いに素で
ある事に反し、不適

よって求める解は3/2です
＊この時a=5で、元の式は
　4x^3-3x-9 = (2x^2 + 3x + 3)(2x-3)
　です。

お礼

ありがとうございます！

回答No.1

Tacosan

「因数分解した形」をどう想定できるか, のような気がする.
例えば, 「整数でない有理数の解」の分母がいくつになるはずか, わかりますか?

お礼

因数分解しなくていいみたいですね