mを正の整数、p_1, p_2, ..., p_m

質問

mを正の整数、p_1, p_2, ..., p_mを相異なる素数とし、Λ={(k_1, k_2, ..., k_m)|k_i∈Z, k_i≧0, 1≦i≦m}とする。このとき、無限級数
Σ_[(k_1, k_2, ..., k_m)∈Λ] 1/(p_1^[k_1]* p_2^[k_2]* ... * p_m^[k_m])
が収束するか否かを判定せよ。
この問題の解き方がわかりません。どなたか教えて下さいませんか。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

p[1] からp[m]の中で一番小さい素数をpとする。p^(1/m) - 1 = eとおく。p^(1/m) = 1 + e。

『十分大きい』ある自然数 n に対し、k[1] + k[2] + k[3] + ... + k[m] = n となる (k[1], k[2], k[3], ... , k[m]) ∈ Λ 全てからなる Λ の部分集合をΛ(n)とおき、A(n)に属する分だけの和 S(n) := Σ_Λ(n) 1/ (p[1]^k[1] * p[2]^k[2] * ... * p[m]^k[m]) を上から評価し、その後nについて足し合わせる。

先ず、1/ (p[1]^k[1] * p[2]^k[2] * ... * p[m]^k[m]) ≦ 1/p^n に注意する。
又、Λ(n)の元の数は、高校数学の復習で (n+m-1)C m （Cは組み合わせの記号）≦ (n+m-1)^m となる。

従って、S(n) ≦ (n+m-1)^m / p^n ≦(2n)^m / p^n = (2^m) (n^m) / p^n ≦ [ (2^m) (N^m) ((1+e/2)^(m(n-N)) ] / (p^n)（Nはある自然数）≦ [ (2^m) (N^m) (1+e/2)^(-mN) ] * ( (1+e/2) / (1+e) )^(mn) となる（nは『十分大きい』としていることに注意）。

[ (2^m) (N^m) (1+e/2)^(-mN) ] の部分は nに依らないある定数であるので適当にAとでも置いておく。従って、

Σ[0≦n<∞] S(n) = Σ[0≦n≦N] S(n) + Σ[N<n< ∞] S(n) となるが、
Σ[0≦n≦N] S(n)の部分は定数なので適当にBとおいて、

Σ[0≦n<∞] S(n) = B + Σ[N<n< ∞] S(n) ≦ B + A Σ[N<n< ∞] ( (1+e/2) / (1+e) )^(mn) となってこれは収束する。

お礼

とても分かりやすかったです。ありがとうございました。