a^4＋４・ｂ^4＝p

質問

「a^4＋４・ｂ^4＝p （a,bは正の整数）（ｐは素数）をみたすa,b,pを求めよ」
という問題なのですが（与式）＝（a^2＋２ｂ^2＋２ｂa）（a^2＋２ｂ^2－２ｂa）と因数分解した後の解答の方向性が分かりません。何度も同じところをループしてしまうのですが・・・分かる方は解法を教えてくださると嬉しいです。

回答No.6

w_letter · ベストアンサー

お礼ありがと。

a^2＋２ｂ^2－２ｂa＝１

これを変形すると、

(a-b)^2+b^2=1

になります。

ここで、
(a-b)^2
が正の値を取れば、上式を満足するｂは虚数になります。
また、負の値を取るのであれば、a,またはbの少なくと一方が虚数になります。

すなわち、a,bは正の整数という条件を満足しません。
したがって、
(a-b)^2=0になります。ここから、a=bになることが分かります。

次に、
(a-b)^2+b^2=1
は、上で説明したように、a=bですから、

b^2=1
となり、bは、正の整数ですから、b=1
になります。

最後に、
a^2＋２ｂ^2＋２ｂa=p

ですから、ここに、a=b=1を代入すると、

p=5
となります。

お礼

すごく丁寧で分かりやすい解答ありがとうございます。
疑問だった点がすっかり解消されました！

回答No.5

Tacosan

え?
a, b がともに正の整数で a^2+2b^2-2ab = 1 なら a = b = 1 しかないですよね.
2b^2 = b^2 + b^2 に気付ければ簡単.

回答No.4

noname#157574

ずばり答えを言います。(a，b，p)＝(1，1，5)です。

お礼

そうなんですか！？さっきからずっと回答してもらった方針に沿って解いてるのですがなかなか答えが出ません・・・；ずっと式変形をして代入をすればいいのでしょうか？それとも何か別の糸口があるのでしょうか？解法を教えてくださると嬉しいです！

回答No.3

w_letter

ごめんなさい。

a,bは正の整数という条件をみていなかった。

したがって、
a^2＋２ｂ^2＋２ｂa
が１になることはないから、

ＮＯ１さんが言うように、

a^2＋２ｂ^2－２ｂa＝１

だけを考えればよかった。

お礼

なるほど！正の整数の制限のおかげで式が2つに絞られるんですね。ありがとうございます！

回答No.2

w_letter

ｐは素数、

ｐを、素因数分解すると、１×ｐ

＞（a^2＋２ｂ^2＋２ｂa）、（a^2＋２ｂ^2－２ｂa）

の一方が１、他方がｐ

じゃないかな。

面倒じゃから、じぶんで計算してください。

回答No.1

40000Km

ｐは素数ですね

では因数分解した片方は1ですね
この場合
a^2+2b^2-2ab=1ですね
これを満たすaとbは両方とも１の場合のみ

お礼

言われれば「なるほど！」という感じですが・・・
a^2+2b^2-2ab=１→これを満たすaとbは両方とも１の場合のみ
とそのまま記述の場合解答してしまっていいのでしょうか？何か他に必要な式とかありますか？
お手数おかけしまって申し訳ありませんが、そのことを教えてくださると嬉しいです。