ベクトルの大小関係

質問

ベクトルの大小関係

空間の２つのベクトル@anot=@0と@bnot=@0が垂直であるとする。
@p=@OPに対して@q=@OQ=(@p・@a/@a・@a)@a+(@p・@b/@b・@b)@bのとき
(1)(@p-@q)・@a=0,(@p-@q)・@b=0となることを示せ。
(2)|@p|<=|@q|となることを示せ。
@p・@a/@a・@a=s,@p・@b/@b・@b=tとおくと@q=s@a+t@b
(1)から(@p-@q)・@a=0,(@p-@q)・@b=0
よって@p・@q=|@q|^2・・・・(1)
このとき|@p-@q|^2=|p|^2-2p・q+|@q|^2=|@p|^2-|@q|^2
|@p-@q|^2>=であるから |@p|^2<=|@q|^2
|@q|>=0,|@p|>=0であるから|@q|<=|@p|

教えてほしいところ
@p・@q=|@q|^2ということは何のために示したんですか？？

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

余りに目がチラチラするので、書き換えてみました。
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問題：
空間の２つのベクトル a ≠ ↑0 と b ≠ ↑0 が垂直であるとする。
ベクトル p に対して q = {(p・a)/(a・a)} a + {(p・b)/(b・b)} b とするとき、
(1)　(p - q)・a = 0, (p - q)・b = 0 となることを示せ。
(2)　|p| ≧ |q| となることを示せ。

(2) の解答：
(p・a)/(a・a) = s, (p・b)/(b・b) = t とおくと、q = s a + t b。　…(3)
(1) から (p - q)・a = 0, (p - q)・b = 0。
よって、p・q = |q|^2。　…(4)
このとき、|p - q|^2 = |p|^2 - 2(p・q) + |q|^2 = |p|^2 - |q|^2。 …(5)
|p - q|^2 ≧ 0 であるから、|p|^2 ≧ |q|^2。　…(6)
|q| ≧ 0, |p| ≧ 0 であるから、|q| ≦ |p|。　…(7)

質問：
p・q = |q|^2 ということは何のために示したんですか？
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(2) と (6) で、肝心の不等号が間違っているし。

何のためって、(5) 中辺の p・q へ代入して、中辺 = 右辺 を示すためでしょう。
その後で、(5) から (7) を導いているのですから。

何のために (4) を示したのかは、質問文中の解答で十分明らかですが、
どうやって (4) を示したかのほうが、説明不足であるように思います。
「よって」によって、話を端折り過ぎです。

(p - q)・a = 0 の両辺を s 倍、
(p - q)・b = 0 の両辺を t 倍して、辺々加えると、
(3) より、(p - q)・q = 0。
括弧を展開、移行して、p・q = q・q。すなわち (4)。

言いっ放しで尻切れトンボになっていた (3) の用途は、ここにあります。

回答No.1

Mr_Holland

＞@p・@q=|@q|^2ということは何のために示したんですか？？
　下の式（A)での計算で使うためですよ。

＞よって@p・@q=|@q|^2・・・・(1)
＞このとき|@p-@q|^2=|p|^2-2p・q+|@q|^2=|@p|^2-|@q|^2　　・・・・（A)
＞|@p-@q|^2>=であるから |@p|^2<=|@q|^2
＞|@q|>=0,|@p|>=0であるから|@q|<=|@p|