積分（応用、曲線）

質問

曲線の長さを求める問題で、媒介変数のあるものだけは苦手です
次の問題はどう解けばいいでしょうか

x=a(cosθ+θsinθ), y=a(sinθ-θcosθ), (0≦θ≦b, a>0, b>0)

回答No.3

info22_

#2です。

A#2の補足の質問の回答

A#2で誰でも出来るところまで計算しておきましたが、全く積分が出来ないですね。微積の教科書を基礎から勉強しなおした方がいいかも知れませんね。

>この問題もグラフが描けるなら
描けますよ。質問の問題のグラフは添付図の緑線の曲線になります。
また、A#2の補足の媒介変数曲線のグラフは赤線の円になります。
グラフについても特に極座標のグラフの描き方を復習すれば描ける様になると思うね。

#1の続き
>L=a∫[0,b] θdθ=a[(θ^2)/2] [θ:0,b]=(1/2)ab^2

>この問題じゃなくて,x=acosθ, y=asinθ, (0≦θ≦b, a>0, b>0)なら、b=4π, 6π,・・・なら公式適用できないと思うんです

どこが適用できないですか？
dx/dθ=-asinθ,dy/dθ=acosθなので
√{(dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2}=a√{(sinθ)^2+(cosθ)^2}=a
L=∫[0,b] a dθ=a[θ] [θ:0,b]=ab
となるから、b=4π, 6π,…　を代入すれば良いだろう。

お礼

曲線の長さと動点の動いた道のりが区別できないんじゃ回答者失格でしょ
質問に答えるなら、もっと基礎を勉強してからの方がいいかも知れませんね

回答No.2

info22_

公式を適用するだけ。

L=∫[0,b] √{(dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2}dθ
=∫[0,b] a√{(θcosθ)^2+(θsinθ)^2}dθ
=a∫[0,b] θdθ
= …
後は出来るだろうから自分でおやり下さい。

補足

媒介変数があると、θを消去してx, yだけの関係にできずグラフが描けない問題が苦手なんです
この問題じゃなくて,x=acosθ, y=asinθ, (0≦θ≦b, a>0, b>0)なら、b=4π, 6π,・・・なら公式適用できないと思うんです
この問題もグラフが描けるなら、公式を使って計算するのは理解できるかもしれません

回答No.1

Tacosan

公式に突っ込む.