この問題はどのように解けばよいのでしょうか?

質問

この問題はどのように解けばよいのでしょうか?

次の漸化式によって定義される数列{An}の一般項を求めよ.

A1=1, An=2A(n-1)+3^(n-1) (n≧2)

全くと言っていい程この手の問題を理解できてません。
説明付きでご回答頂けると嬉しいです。
よろしくお願い致します。

回答No.4

alice_44

失礼。
log の話は、私の勘違いです。
先日よく似た質問を見たので、
混同してました。

それ以前の部分、頑張って知っている漸化式に
帰着しよう…という話は、今回質問にも
あてはまると思います。

回答No.3

alice_44

漸化式を解いたり、微分方程式を解いたり
する計算は、本来的に難しいものです。
モノによっては、数学上の大問題に
なっていたりします。

なので、試験に出た問題については、
それが試験に出たという事実そのものが、
解法への最大のヒントになります。
要するに、実は、式変形によって
等差か等比か多項式の和かに帰着できる
というヒント付きの問題だということです。

質問の例の場合、log A[n] が、
その「式変形」にあたります。
これを、どうやって見つけるかといえば…
場数を踏んで経験で…に尽きますかね。

回答No.2

nag0720

A[n]=2*A[n-1]+3^(n-1)
2*A[n-1]=2^2*A[n-2]+2*3^(n-2)
2^2*A[n-2]=2^3*A[n-3]+2^2*3^(n-3)
2^3*A[n-3]=2^4*A[n-4]+2^3*3^(n-4)
・・・・・
2^(n-3)*A[3]=2^(n-2)*A[2]+2^(n-3)*3^2
2^(n-2)*A[2]=2^(n-1)*A[1]+2^(n-2)*3^1=2^(n-1)+2^(n-2)*3^1

これらをすべて足すと、
A[n]=2^(n-1)+2^(n-2)*3^1+2^(n-3)*3^2+・・・・+2*3^(n-2)+3^(n-1)

これは初項2^(n-1)、公比3/2、項数nの等比級数です。

回答No.1

naniwacchi

両辺を 2^(n+1)で割って、数列の項を置きなおす。

理解というよりも、漸化式はある意味パターンを習得することになります。
原則は、「わかりやすい形に変形する」ことです。