漸化式

質問

まず、an,a1,an+1をうまく表記できなかったので大変見にくいかと思いますが、それぞれaの右下にあるものと思ってください。大変申し訳ありませんがご了承ください。

「数列｛an｝において、漸化式　　　　a1＝ａ、１６ａ(n+1)＝ａn＋３（ｎ≧１）を考える。
このとき、この漸化式は、１６（ａn+1－1/５）＝ａn－1/５　と変形できるので、一般項 ａn は、ａn＝1/５＋（１/１６)^n-1（ａ－1/５）」という解答で
１６（ａn+1－1/５）＝ａn－1/５という式から一般項 ａn＝1/５＋（１/１６)^n-1（ａ－1/５）の導き方がわかりません。教えてもらえないでしょうか。よろしくおねがいします。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

一般項を a(n)と表すことにします。

16* {a(n+1)- 1/5}= a(n)- 1/5より両辺を 16で割って、
a(n+1)- 1/5 = 1/16* {a(n)- 1/5} …(1)式
と変形します。

ここで、a(n)- 1/5= b(n)とおいてみます。
すると (1)式は
b(n+1)= 1/16* b(n)
b(1)= a(1)- 1/5= a- 1/5
となります。
数列{b(n)}は、初項が a- 1/5、公比が 1/16の等比数列となります。

よって、数列{b(n)}の一般項は
b(n)= (a- 1/5)* (1/16)^(n-1)

あとは a(n)を戻していけば、導けます。

(1)式の 1/5の出し方がポイントになりますが、
16* {a(n+1)-α}= a(n)-α
と「なってほしい形」を要請して、それを満たすαを求めることで出てきます。

回答No.3

spring135

この質問は荒唐無稽に1/5が出てくることに対する不安感であって、それが筋道だって出てくることを示す必要がある。
ｎ→∞においてはａnはpに収束し、ａn+1もpに収束すると考える。このとき漸化式
１６ａ(n+1)＝ａn＋３ (1)
は
１６p＝p＋３(2)
となりこれからp=1/5
これを見極めたうえで
(1)-(2)を造ると
１６(ａ(n+1)-p)=(an-p)
故に
ａ(n+1)-p=(an-p)/16
=(a(n-1)-p)/16^2
.............
=(a1-p)/16^n
故に
ａ(n+1)-p=(a1-p)/16^n　
故に
ａ(n+1)=(a1-p)/16^n+p
故に
a(n)=p+(a1-p)/16^(n-1)
この式で
a1=a,p＝1/5を代入すればよい。

回答No.1

bgm38489

ｂn=ａnー1/5と置き換えてみれば、すぐわかる。ｂnは等比数列。