この不等式の問題を教えてください。

質問

この不等式の問題を教えてください。
問題は
ｘ＝ｙ＝ｚのときこの不等式が成り立つことを示せ。
です。
まず、全部展開して相加相乗平均を使うことはわかったんですが、その後、どうやって左辺が１２５以上であることを示せばいいですか？

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

相加平均・相乗平均を使わないなら。。。。。ｗ

125＝5＾3に着目しよう。
2＋1/x≧5、2＋1/y≧5、2＋1/z≧5　ならば、(2＋1/x)*(2＋1/y)*(2＋1/z)≧5＾3　である。
逆は言えないが。

Ａ：2＋1/x-5＝(1-3x)/(x)、Ｂ：2＋1/y-5＝(1-3y)/(y)、Ｃ：2＋1/z-5＝(1-3z)/(z)。
従って、Ａ*Ｂ*Ｃ≧0がいえると良い。

x、y、zについて平等から、x≧y≧z＞0としても一般性を失わない。
つまり、3z≦x＋y＋z≦3x　であるから　0＜3z≦1≦3x　‥‥(1)　が成立する。
よって、Ａ≦0、Ｃ≧0　であるから、Ｂ≦0がいえると良い。
x＝1-y-zを(1)に代入すると、3z≦2-3y、3z≦1から　3z≦2-3y≦1　より　3y≧1　。
つまり、Ｂ≦0　　で　等号は　x＝y＝z＝1/3　の時。

回答No.3

mister_moonlight

先の解には問題があるから、無視していて。

回答No.1

R_Earl

> 全部展開して相加相乗平均を使うことはわかったんですが、

展開して整理すると(1/x) + (1/y) + (1/z)や
1/xyzの項が出来上がります
（(1/xy) + (1/yz) + (1/zx)に関しては、
x + y + z = 1を利用すると1/xyzの項に変形できます）。
後は(1/x) + (1/y) + (1/z)や1/xyzが最小値を取る時に、
与式の値が125となる事を言えば良いです。

x + y + z = 1と相加相乗平均を利用するとxyzの最大値が求められます。
xyzが最大値を取る時、1/xyzは最小値となります。

(1/x) + (1/y) + (1/z)に対して相加相乗平均を利用し、
さらに先ほど求めた1/xyzの最小値を使うと、
(1/x) + (1/y) + (1/z)の最小値が求まります。

1/xyzが最小値を取る時に(1/x) + (1/y) + (1/z)も最小値を取ります。
言いかえれば同じ(x, y, z)の値で
1/xyzと(1/x) + (1/y) + (1/z)の両方が最小値を取ります。

後はこの結果を元にして与式の最小値を考えましょう。