△ＡＢＣにおいて、サインＡ=２サインＢコサインＣ、ＡＢ=√3のときＡＣ

質問

△ＡＢＣにおいて、サインＡ=２サインＢコサインＣ、ＡＢ=√3のときＡＣを求めよ
を教えてくれませんか？
高1なので詳しく教えてくれたらうれしいです

回答No.1

math-wo · ベストアンサー

正弦・余弦定理は習いましたよね？

簡単のため BC=a AC=b AB=c とします(もとめる値はbとなります)
正弦定理より
a/sinA=b/sinB

与式sinA=2sinBcosCを代入しますと両辺の分母のsinBが消えますので、整理して
a=2b(cosC)

また余弦定理より
c^2=a^2+b^2-2ab(cosC)
これにAB＝ｃ＝√3、ａ＝2b(cosC)を代入しますと

3=4b^2(cosC)^2+b^2-4b^2(cosC)^2
∴ｂ＝AC＝√3 (∵AC>0)

cosCが消えてしますのが不思議な感じです

お礼

ありがとうございました
よくわかりました

回答No.2

Kules

>高1なので詳しく教えてくれたらうれしいです
この場合高1かどうかよりも数Iなのか数IIなのかの方が重要だったり…
三角比なのか三角関数なのかでだいぶ使えるものがかわってきますからね。
三角関数の場合なら右辺を積和の公式を使って変形し、A+B+C=180°を使えばBとCに関する式が出てきます。
その式からB=Cが出てくるのですが、再び元の式に戻ると今度は加法定理によりA=2Bであることがわかります。
したがって、A,B,Cの角度が全てわかるので後は正弦定理なりなんなりでACを求めてやればよいでしょう。

三角比の場合、外接円の半径をRとしてsinA、sinB、cosCを正弦定理、余弦定理で変換することで全て辺の長さに関する式になり、それを一所懸命変形していけばAB=ACが導かれます。

以上、参考になれば幸いです。

お礼

ありがとうございました
よくわかりました
ちなみに範囲は数1です