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a×(b×c)=b(ac)-c(ab)
a,b,cをベクトルとして、a×(b×c)=b(ac)-c(ab) を示すにはどうしたらよいのでしょうか?? 唐突な質問ですみません。
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a,b,cが独立でないとき簡単。3つは独立とすると、 (b×c) はb、cに垂直 a×(b×c) は(b×c)に垂直なので b,cのつくる平面内のベクトル p,qを実数として a×(b×c)=pb-qc とおける。 a×(b×c) はaに垂直なのでaを内積すると、 pab-qac=0 kを実数として p=kac q=kab とおける。 a×(b×c)=k(ac)b-k(ac)c b-c面内でcと垂直なベクトルをとりdとする。 [b,cの間、すなわち、b,dが鋭角になる方向にとる] b,cのなす角をθとすれば b,dのなす角は90-θ(鋭角)[鈍角の場合θ-90] dを内積すると、 右辺=k(ac)(bd) 左辺=d[a×(b×c)] スカラー三重積の性質を利用すれば、 =a[((b×c)×d] (b×c)×dはb,cと同一平面内でdと垂直、 [dはb,cの間に来る方向なので] したがって、c方向。 |b×c|=|b||c|sinθ (b×c)とdは垂直なので |((b×c)×d|=|b||c||d|sinθ=|b||c||d|cos(90-θ)=(bd)|c| ((b×c)×d=(bd)c 左辺=(bd)(ac) k=1
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- mtaka_2007
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回答No.2
これはどこにでも出ている等式と思います。教科書に書いてありませんか。あるいはベクトル3重積で検索すれば解法があります。 定義にしたがって、成分ごとに両辺を計算すれば等しいことが分かります。