Taylor展開の剰余項：：LagrangeとCauchyの形で

質問

タイトル通りなんですが、
Taylor展開の剰余項（LagrangeとCauchy）の基本の形を教えて欲しいのですが。。
ネットでも調べてみたのですが、載ってるHPにヒットしませんでした(T_T)
しかも、Taylor展開も知っている剰余項と異なるのが表示されていたりして、パニくってます。

パソコン上では表示するのが大変ですが、どうか、お願いします。

回答No.1

mmky · ベストアンサー

参考程度に
テーラの定理
f(b)=f(a)+(b-a)f'(a)+(b-a)＾2/2!f''(a)
+・・+(b-a)＾(ｎ-1)/(n-1)!f'(n-1)(a)+Rn

1.　テーラの余剰項
Rn={(b-a)＾n/n!}f'(n)(x1)
{註：f'(n) はn回微分の意味、x1はaとbの間の値,
Rn=(b-a)＾n*kと置けば、k=(1/n!)f'(n)(x1)}

2.　Lagrangeの余剰形式
1.で(x1-a)/(b-a)=θ　と置けば、
x1=a+θ(b-a), 1>θ>0
Rn={(b-a)＾n/n!}f'(n){a+θ(b-a)},
1>θ>0
3. cauchyの余剰形式
Rn={(b-a)＾n/(n-1)!}(1-θ)＾(n-1)f'(n){a+θ(b-a)},
1>θ>0
{註：Rn=(b-a)*k とおいた場合}
ということでしょうかね。

お礼

回答ありがとうございまし。
知りたいことがズバリでした。
大学では最初からθを使うほうの表記しかノートしてなかったので、ネットで探しても見つからなかったんです。でも、テイラー展開の説明では、θ使わないでC（ここではｘ1）での表記で説明してたりして、本当に、パニくってました。
おかげですっきりしました。ありがとうございます。