テイラー展開と一次近似での剰余項の違いの謎

質問

ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E8%BF%91%E4%BC%BC
と
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
を見比べて思ったのですが

関数f(x)の一次近似(n=1の場合のTaylor定理,つまりfが一階微分可能な時のTaylor展開)は
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_2
でこのR_2は
R_2=f''(c)/2!(x-a)^2 …(*)
となっているのですよね(∵Taylor定理)。
この剰余項には二階微分係数f''(c)が出てきてますが,
今,fは二階微分可能であるとは保証されてないのですよね。

従って,(*)とは書き表せないと思うのです。
しかし,Taylorの定理では剰余項は高階微分係数になっていて矛盾だと思うのですが,

もしかして,fが一階微分可能で二階微分可能かは必ずしも保証されてないのであれば,
fの一次近似式は
f(x)=f(a)+f'(c)(x-a) ただし,c∈(a,x)
となるのでしょうか?

そして,ここではc=aではないので,
f(x)≒f(a)+f'(a)(x-a) と書ける..
という解釈で正しいでしょうか?

ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E8%BF%91%E4%BC%BC
でのfは二階微分可能であることが暗黙に仮定されてるのでしょうか?

すいません。分かりやすくおおしえください。

回答No.3

ask-it-aurora

> 他にはどのような線形近似があるのでしょうか???

さぁ？ 線型近似と呼ばれていても不思議ではない定義を適当にでっち上げてみせましょうか．

(1) 実数の部分集合 D 上で定義された実数値関数 f, g に対して g が f の線型近似であるとは
(i) ある定数 a, b が存在して g(x) = ax + b と表せ，
(ii) |f(x) - g(x)| < 1がすべての x ∈ D に対して成り立つこと．

(2) 上の条件(ii)の代わりに
(ii)' 積分 δ = ∫ |f(x) - g(x)| dx が存在して δ < 1 が成り立つこと．

(3) 上の条件(ii)の代わりに
(ii)'' 積分 Δ = ∫ (f(x) - g(x))^2 dx が存在して Δ < 1 が成り立つこと．

数学には標準語もありますが方言もたくさんあります．場合によっては便利だからという理由で通常とは違う定義が採用したりするので，きちんと意味を取ろうとすればその文脈ではどんな意味で使われているを考えなくてはいけませんよ，とそういうつもりで前回の最後の段落は書いただけです．

回答No.2

ask-it-aurora

>一階微分可能かつ2階微分不能な関数は線形近似するのは不可能ということになるのでしょうか?

その通りです．なぜなら「線型近似」は ― 英語版の定義に則ると ― 2回微分可能な関数に対してしか定義されていないからです．

しかし，これは曖昧な記述を排しようという数学的な必要に応じてなされた便宜上の定義です．なので他の『線型近似』を採用すれば，この限りではありません．

お礼

有難うございます。

> なので他の『線型近似』を採用すれば，

他にはどのような線形近似があるのでしょうか???

回答No.1

ask-it-aurora

履歴を見るとウィキペディアにある「線型近似」の記事は英語版からの翻訳で，英語版の方にはキチンと2回微分可能と断ってあります． 翻訳するときに書き損ねただけでしょう．

補足

そうでしたか。そうしますと

一階微分可能かつ2階微分不能な関数は線形近似するのは不可能ということになるのでしょうか?