n次導関数

質問

e^x sinx のn次導関数はどうやって求めるのですか？

回答No.6

fushigichan · ベストアンサー

Lone07さん、こんばんは。
＃４＃５fushigichanです。
お礼のコメントいただき、ありがとうございました。

ちょっと不完全な気がして、また来ました。

n次導関数を、

f^(n)(x)=(√2)^n*e^x*sin(x+nΠ/4) ・・・（☆）
n:自然数

と予測しましたが、これを数学的帰納法で証明しておかないといけないように思いました。

n=1のとき、
f'(x)=√2e^xsin(x+Π/4)
なので、（☆）は成立している。

n=kのとき、（☆）が成立するとすると、

f^(k)(x)=(√2)^k*e^x*sin(x+kΠ/4)・・・（★）
が成り立っている。

n=k+1のときも（☆）が成り立つことを言えばいいから、
(★）をもう一度、xで微分すると、

f^(k+1)(x)=(√2)^k{(e^x)'sin(x+kΠ/4)+e^x(sin(x+kΠ/4)'}
=(√2)^ke^x{sin(x+kΠ/4)+cos(x+kΠ/4)}
=(√2)^(k+1)*e^x{(1/√2)sin(x+kΠ/4)+(1/√2)cos(x+kΠ/4)}
=(√2)^(k+1)*e^xsin{(x+kΠ/4) + Π/4}
=(√2)^(k+1)*e^x*sin(x+(k+1)Π/4)

となるので、（☆）はn=k+1のときも成り立つことが証明された。
よって、すべての自然数nについて、

f^(n)(x)=(√2)^n*e^x*sin(x+nΠ/4) ・・・（☆）
n:自然数

は成立する。
と、するのがいいと思います。
ご参考になればうれしいです。

お礼

朝、答えあわせをしようとしてＰＣを起動させたらビックリでしたｗ
確かに数学的帰納法が必要ですね。アドバイスをありがとうございました。
またよろしくお願いします。（お礼が遅れてすいませんでした＾＾）

回答No.7

siegmund

既に答は出ていますが，次のようにすると簡単でしょう．

e^x sin(x) = Im(exp{(1+i)x})
ですから，１回微分するということは 1+i をかけるのと同じことです．
1+i = √2 e^(πi/4) ですから，
４回微分すれば符号が違ったものが現れて(√2)^4 = 4 倍になり
８回微分すれば同じもので16倍になります．
１回微分する毎に位相が π/4 だけ回転するのですから，
sin(x+nΠ/4) の因子が現れるのもすぐ見えます．

お礼

回答ありがとうございます。・・・が
1行目から分かりませんｗ　・・・　Ｉｍ　ってなんですか？
あとe^x sin(x) = Im(exp{(1+i)x}) はどうやって出したのですか？
分からない事だらけでごめんなさい＾＾

あとそろそろ締切りたいと思ってますのでよろしく！
（＃４．５．６の方に２０Points贈るつもりです。１０Pointsは考え中ですｗ）

補足

もう待つのがイヤになったのでここで締切らせてもらいます＾＾（２ページ目に入ったことだしｗ）
１ヶ所分からないところを残すのはイヤなのですが、とりあえず目的は遂げたので良しとします。
次につまずいた時にでも質問しますのでその時はよろしくお願いします。

回答No.5

fushigichan

＃４です。
３次導関数のところ、
＞f^(3)(x)=2e^x(cosx-sinx)=-2e^x(sinx-cosx)
=-2√2e^x{(1/√2)sinx+(-1/√2)cosx}
=-2√2e^xsin(x+3Π/4)

すみません、ここ計算間違えていますね。
正しくは、

f^(3)(x)=2e^x(cosx-sinx)
=-2e^x(sinx-cosx)
=-2√2e^x{(1/√2)sinx+(-1/√2)cosx}
=-2√2e^xsin(x-Π/4)
=2√2e^xsin(x+3Π/4)

となりますね！ごめんなさい。
答えの符号は√2のn乗でいいです。

４次導関数も、

f^(4)(x)=-4f(x)=-4*e^x*sin(x+0)=(√2)^4*e^x*sin(x+0*Π/4)
ですね。

f^(n)(x)=(√2)^n*e^x*sin(x+nΠ/4)
n:自然数

となるようです。訂正いたします。

お礼

丁寧に計算までしていただいてとても感謝しています。
もう一度解いてみて、答え合わせさせてもらいます。
どうもありがとうございました。

（＃４の方のお礼は省略させて下さい。お礼を書くのもタイヘンです～ｗ）

皆さんとても多くの回答をどうもありがとうございました。分からない事だらけなんで、また質問させてもらうと思いますが、その時はよろしくお願いします。
一応すべてにお礼を書くようにしているんでｗ

回答No.4

fushigichan

Lone07さん、こんばんは。
１つ１つ微分していってどのような感じになりそうか？
を求めてみればいいと思います。

f(x)=e^xsinx

f'(x)=(e^x)'sinx+e^x(sinx)'
=e^xsinx+e^xcosx
=e^x(sinx+cosx)

f^(2)(x)←２次導関数
=(e^x)'(sinx+cosx)+e^x(sinx+cosx)'
=e^x(sinx+cosx)+e^x(cosx-sinx)
=2e^xcosx

f^(3)(x)=2{(e^x)'cosx+e^x(cosx)'}
=2{e^xcosx-e^xsinx}
=2e^x(cosx-sinx)

f^(4)(x)=2{(e^x)'(cosx-sinx)+e^x(cosx-sinx)'}
=2e^x{cosx-sinx-sinx-cosx}
=-4e^xsinx
=-4f(x)

となって、＃１ojamanboさんと同じ結果になりました。
n次導関数は、このことから、

f(x)=e^xsinx=e^xsin(x+0)
f'(x)=e^x(sinx+cosx)=√2e^x((1/√2)sinx+(1/√2)cosx)
=√2e^xsin(x+Π/4)
f^(2)(x)=2e^xcosx=2e^xsin(Π/2-x)=2e^xsin(x+Π/2)
f^(3)(x)=2e^x(cosx-sinx)=-2e^x(sinx-cosx)
=-2√2e^x{(1/√2)sinx+(-1/√2)cosx}
=-2√2e^xsin(x+3Π/4)
　↑
ここは、-√2の３乗になっている

f^(4)(x)=-4f(x)=-4*e^x*sin(x+0)=(-√2)^4*e^x*sin(x+0*Π/4)

となるので、

f^(n)(x)=(-√2)^n*e^x*sin(x+nΠ/4)
n:自然数

のようになると思います。
ご参考になればうれしいです。

回答No.3

jet-ninjin321

きっと大学生だと思いますがｎ次導関数を求めるには
ある程度何回か微分してｎ次導関数を推測する方法と
ライプニッツの公式を使う場合とがあります。
今回は何回か微分して推測してｎの式で表すケースですね。

ただ今回はそのｎで表すのが少々面倒です。
ｎを４で割ったあまりで場合分けすることもできますが
√２＾ｎｅ＾ｘ　ｓｉｎ（ｘ＋ｎπ／４）と
まとめて表す事も出来ます。三角関数の合成を使います

sinｘのｎ次導関数はsin（ｘ＋ｎπ／２）とあらわせる
ことを覚えておくとべんりです

お礼

回答ありがとうございます。
n次導関数を求めるには２通りしかないんですか～
覚えときます＾＾
あと、
＞sinｘのｎ次導関数はsin（ｘ＋ｎπ／２）とあらわせる
という部分も覚えておきます
覚えること多いなぁ～ｗ

回答No.2

gukky

方法は他にもあるかもしれませんが。
１次の導関数を求める→e^x*(sinx+cosx)
２次の導関数を求める→2*e^x*cosx
３次の導関数を求める→2*e^x*(-sinx+cosx)
４次の導関数を求める→-4*e^x*sinx
４次の導関数は元の関数の(-4)倍となるということから、

n=4mのとき(-4)^m*e^x*sinx
n=4m+1のとき(-4)^m*e^x*(sinx+cosx)
n=4m+2のとき(-4)^m*2*e^x*cosx
n=4m+3のとき(-4)^m*2*e^x*(-sinx+cosx)
というのはどうでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます＾＾
４次の導関数＝（－４）f(x) と表すんですか～
なるほど・・・
参考になりました。

回答No.1

noname#24477

とりあえず順番にやってみる。
４階微分でｆ^(4)（ｘ）＝－４f(x)
になると思うのでｎを４の倍数で場合分けして
答えればいいと思う。

あるいは三角関数の合成を使えば
f^(n)（ｘ）＝e^x（√2)^n*sin(x＋nπ/4)

となりそう。このほうがスマートかな。

頭の中でやったので・・・多分大丈夫だと思いますが
とにかくやってみることです。

お礼

回答ありがとうございます。
１回ずつ微分してったんですが・・・
sinとcosがでてきてしまい、うまくまとめられなかったんです。三角関数の合成には気づきませんでした。
参考にします＾＾