第n次導関数を求めよ。

質問

ｙ＝eのX乗SINXの第ｎ次導関数を求めよ。が分かりません。どなたか教えてください。

回答No.2

imopro · ベストアンサー

sin(x)+cos(x)=√2*sin(x＋π/4)は多分、数学IIで習われているとおもうのですが…教科書で見直してください。
「三角関数の合成」とでも呼ぶ内容のものだと思いますが、簡単に説明します。

asin(x)+bcos(x)という式があったとします(a≠0またはb≠0)。
これを、（例えば）文字tを使って以下のようにsinだけで表す事ができるのです。
asin(x)+bcos(x)=√(a^2+b^2)*sin(x+t)
（但し、sin(t)=b/√(a^2+b^2)、cos(t)=a/√(a^2+b^2)）
（通常、-π<t≦πとします）

今の場合a=b=1なので、
√(a^2+b^2)=√2，sin(t)=cos(t)=1/√2となります。
これを満たす角度は45°、即ちπ/4です。
従って、sin(x)+cos(x)=√2*sin(x＋π/4)となるわけです。

イメージ的には、座標(a,b)とx軸が為す角度（負の角度も含む）がtとなると思えばいいわけです。

お礼

大変よくわかりました。丁寧にわかりやすく教えてくださってありがとうございました。

回答No.3

kkkk2222

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（＃１＝＃２）様が止めを刺さらぬので、書き出してしまいました。第ｎ次導関数ををＹ【Ｎ】と表記します。

Ｙ【０】＝（ｅ＾Ｘ）ＳＩＮＸ

Ｙ【１】＝（ｅ＾Ｘ）ＳＩＮＸ＋（ｅ＾Ｘ）ＣＯＳＸ
＝（ｅ＾Ｘ）【ＳＩＮＸ＋ＣＯＳＸ】
＝（ｅ＾Ｘ）（２＾（１／２））【ＳＩＮ（Ｘ＋（π／４））】

Ｙ【２】＝（２＾（１／２））【（ｅ＾Ｘ）ＳＩＮ（Ｘ＋（π／４））＋（ｅ＾Ｘ）ＣＯＳ（Ｘ＋（π／４））】
＝（２＾（１／２））（ｅ＾Ｘ）（２＾（１／２））【ＳＩＮ（Ｘ＋（π／４））＋ＣＯＳ（Ｘ＋（π／４））】
＝（２＾（２／２））（ｅ＾Ｘ）【ＳＩＮ（Ｘ＋（２π／４））】

ここで
＊＊　Ｙ【Ｎ】＝（２＾（Ｎ／２））（ｅ＾Ｘ）【ＳＩＮ（Ｘ＋（Ｎπ／４））】
と推定して、数学的帰納法を用いる証明に移行します。

Ｎ＝１の時は既に完了。
Ｎ＝Ｋの時の成立を仮定する。
即、Ｙ【Ｋ】＝（２＾（Ｋ／２））（ｅ＾Ｘ）【ＳＩＮ（Ｘ＋（Ｋπ／４））】を仮定する。
Ｙ【Ｋ＋１】＝（２＾（Ｋ／２））【（ｅ＾Ｘ）ＳＩＮ（Ｘ＋（Ｋπ／４））＋（ｅ＾Ｘ）ＣＯＳ（Ｘ＋（Ｋπ／４））】
＝（２＾（Ｋ／２））（ｅ＾Ｘ）【ＳＩＮ（Ｘ＋（Ｋπ／４））＋ＣＯＳ（Ｘ＋（Ｋπ／４））】
＝（２＾（Ｋ／２））（ｅ＾Ｘ）（２＾（１／２））【ＳＩＮ（Ｘ＋（（Ｋπ／４）＋（π／４）））】
＝（２＾（（Ｋ＋１）／２）））（ｅ＾Ｘ）【ＳＩＮ（Ｘ＋（（Ｋ＋１）π／４））】
即　Ｎ＝Ｋ＋１に＊＊が成立する。
よって、全てのＮに対して＊＊が成立する。

はなはだ形式的ですが書いてみました。
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回答No.1

imopro

y=e^x*sin(x)の第n次導関数y^(n)は、
y^(n)=(√2)^n*e^x*sin(x+nΠ/4)
でいいと思います。

因みに、
y=e^x*cos(x)の第n次導関数y^(n)は、
y^(n)=(√2)^n*e^x*cos(x+nΠ/4)
でしょう。

求め方は、まず第2次導関数まで求めれば何となく察しがつくと思いますが、数学的帰納法を用います。
因みに、
y'=e^x*(sin(x)+cos(x))
=e^x*√2*sin(x+Π/4)
=√2*e^x*sin(x+Π/4)
y''=√2*e^x*(sin(x+Π/4)+cos(x+Π/4))
=(√2)^2*e^x*sin(x+(Π/4)*2)
です。

お礼

さっそくの回答ありがとうございました。お礼も言わずに補足を書いてしまいました。すみません。

補足

sin(x)+cos(x)＝ルート２sin(x＋π／4)が分かりません。前のことがわかっていないのですみません。