第n次導関数

質問

y=1/ax＋b

y=1/x(x＋1)

y=e^ax＋b

これらの第ｎ次導関数を求めたいのですがわかりません。どなたかご教授ください。

回答No.2

sanori

ごめんなさい。さっそく自分の間違いを見つけてしまいました。

a・(-1)^n・n!・1/z^(n+1)
でなく
a^n・(-1)^n・n!・1/z^(n+1)
でした。

１回微分するごとに、ａが掛け算されますので。
（その理由は第３問を解けば何となくわかるはず）

回答No.1

sanori

あんまり得意でないんですが、答えてみます。

y=1/ax＋b
これはz=ax+bとy=1/zの合成関数

y=1/z＝Ｚのマイナス１乗をどんどん微分していくと、Ｚのマイナス２乗、３乗・・・となっていき、

係数は、１回微分するごとに×（－１）、×（－２）、×（－３）・・・を累積で掛け算していく、要は、（－１）のｎ乗とｎの階乗（ｎ！）とをかけたものになる。

一方、ax+bを微分するとa。

合成関数の微分は２つをかければよいから、
a・(-1)^n・n!・1/z^(n+1)
zにax+bを代入してできあがり。

y=1/x(x＋1)は、右辺を２個の分数の和にしてから、それぞれの微分をやります。
２個の分数の和を a/x+b/(x+1) と試しに置けば、あら不思議、ちゃんとaとbの値が求まるのです。
あとは、第１問と似たような感じです。

y=e^ax＋b
これも合成関数の微分ですが、超簡単です。
試しに３回ぐらい地道に微分を繰り返してみれば、すぐに規則性がわかるはず。
（答えにbという文字は登場しません）

以上
当方、計算が苦手なため、書き間違いがもしもありましたらごめんなさい。