この哲学的（？）問題について教えてください。

質問

この哲学的（？）問題について教えてください。

Ａ君とＢ君がいる。２つの数の和がＡ君に、積がＢ君に伝えられた。

A君・俺は２つの数がいくつなのか知らん
Ｂ君・あなたが知らないってことは知っていました。僕もまだ２つの数がいくつか知りません。
Ａ君・わかったぜ。今のお前の発言で２つの数がわかったぜ。
Ｂ君・僕もです。あなたがわかったと言ったので、２つの数がいくつかわかりました。

上記の問題はどういうことなのでしょうか？なぜ二人ともの数がわかったのでしょうか？

どなたかどうぞよろしくお願い致します。

回答No.3

yespanyong · ベストアンサー

No.2です。お礼拝見しました。

＞確かに２つの数について制限があれば、検討がつくのかもしれませんね。
＞しかし、今回の場合はどうなんでしょうか。
＞何の指定もない２つの数があって、その和と積が２人にそれぞれ伝えられて、簡単な会話で元の数を的中させるなんて可能なんでしょうか。

もちろんどんな数でもこういうやり取りが成立するというわけではないです。
元々この問題は、このような会話が成立するような１より大きい２つの整数の組は何かというのを求める問題で、その２つの組が例えば(4,13)とか(13,16)とか特定の組み合わせの場合には、Ａ君とＢ君に２数の積と和がそれぞれ知らされるだけでこのような会話が成り立つといわれているようです。この場合のＡ君とＢ君の思考過程がどうなるかというのは先ほどの投稿で述べた通りです。
(先ほどの事例では(7,16)という例をあげましたが、これでは成立しないようです。失礼しました。私の記憶違いか…？)

さらに細かいことを言うと、この問題には暗黙の前提として、
・Ａ君とＢ君は２人とも(私が先ほどの投稿で書いたような)数学的な思考を行う能力が十分ある
・Ａ君とＢ君は２人ともこの会話の中で嘘を言わない
という条件が当然のように含まれます。

以上の条件の下で、本題の会話のみで元の数を的中させることは十分に「可能」なのですが、一見するととても可能には見えないのが“Impossible Puzzle”(不可能パズル) と呼ばれる所以です。

回答No.4

nag0720

＞何の指定もない２つの数があって、その和と積が２人にそれぞれ伝えられて、簡単な会話で元の数を的中させるなんて可能なんでしょうか。

不可能です。

論理的に考えてみましょう。

２つの数を実数します。

まず、２つの数の和を聞いただけでは、その和になる組み合わせは無数にあるので、２つの数は分かりませんね。

では、２つの数の積を聞いたときではどうでしょうか。
積が０の場合は、２つの一方が０だということが分かりますが、もう一方は分かりませんし、
積が０でない場合でも、その積になる組み合わせは無数にあるので、２つの数は分かりません。

それを前提にすれば、Ａ君とＢ君の最初の発言の
「俺は２つの数がいくつなのか知らん」
「あなたが知らないってことは知っていました。僕もまだ２つの数がいくつか知りません。」
はあたりまえのことを言っているだけです。
つまり、この発言は何の情報も与えていないことになり、何も言っていないのと同じことです。

この状態で、Ａ君が、
「わかったぜ。今のお前の発言で２つの数がわかったぜ。」
と言うことはありえません。
もし言ったとしたら、２つの数の和を聞いただけで分かったことになってしまいます。

結論としては、＃２さんの回答のように、なんらかの条件があるはずです。

回答No.2

yespanyong

２つの数が１より大きい整数であり、Ａ君に積が、Ｂ君に和が知らされたというバージョンなら知ってます。

Ａ君に知らされた２数の積が112、Ｂ君に知らされた２数の和が23だったとします。

ここでＢ君が「あなたが知らないってことは知っていました」と言った理由ですが、まずＢ君は和が23であることを知って元の２数が2＋21なのか、3＋20なのか…と推理します。ここでＢ君は２数の両方とも素数である組み合わせはないことに気づきます。２数が両方とも素数であればＡ君が聞いたその積は一意に２個の素因数に分解できて２数が即座に分かるはずですが、その組み合わせになる可能性がないことからＢ君はＡ君が２数の積から２数を知りえないと判断して「あなたが知らないってことは知っていました」という発言につながるわけです。

一方、Ａ君は２数の積112を知って、元の２数が2×56なのか、4×28なのか…と推理します。ここにＢ君の「あなたが知らないってことは知っていました」という発言を聞いて考えます。上記のＢ君の考え方も推理して２数の和から２数に分けるときに素数同士の組み合わせになる可能性がないことを突き止めます。すると、その条件に合致するのは2×56、4×28、7×16、8×14のうち7×16の組み合わせしかないことに気づきます。そこで「今のお前の発言で２つの数がわかったぜ」という発言につながります。

さらにこれを聞いたＢ君は、和が23になることを知っているので、和が23になる２数の組み合わせ(2,21),(3,20)…などからその積42,60,…を導き出し、そのそれぞれについてＡ君が２数の組み合わせを一意に導き出せる可能性を検討し、最終的にその組み合わせが(7,16)のみであることを導き出して「あなたがわかったと言ったので、２つの数がいくつかわかりました」という発言につながります。

“Impossible Puzzle”などの名前で知られており、Hans Freudenthal というオランダの数学者が Nieuw Archief Voor Wiskunde という雑誌に寄稿した論文が元ネタなんだそうです。

お礼

丁寧なお答え、どうもありがとうございます。
確かに２つの数について制限があれば、検討がつくのかもしれませんね。
しかし、今回の場合はどうなんでしょうか。
何の指定もない２つの数があって、その和と積が２人にそれぞれ伝えられて、簡単な会話で元の数を的中させるなんて可能なんでしょうか。
最初２つとも０なのではとも思いましたが、何だかよくわからないので。

回答No.1

h_bopper2002

「情報がないこと」が情報になるというパターンですね。明示されていませんが、あらかじめA君B君は２つの数字についてなんらかの情報を持っていて「相手が回答できない」ということが情報となり回答がわかるというものです。
たしかTRICKにもこのネタがありました。以下のURLにある例もこのパターンです。
http://blogs.yahoo.co.jp/kidake2008/15742332.html

お礼

回答ありがとうございます。
もう少しお尋ねしたいのですが、具体的な２つの数はいくつになるのでしょうか？
和と積だけしか情報がないのですが、どうやら具体的な数字がわかるらしいのです。
よろしければ、お知恵をお貸しください。