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数オリ1976年の問題がとけません。
国際数学オリンピック1976年の問題があるのですが、答えがなく、わかりません。 どなたか教えていただけますでしょうか？ ＝＝＝ 正の整数値が複数ある。それらの和が１９７６になるとき、それらの積の最大値を求め、 それが最大であることを示せ。 ＝＝＝ よろしくお願い申し上げます。 あと、数オリの過去の問題のQ&Aみたいの、どこかのサイトにありませんか？
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6以上が抜けていたので訂正 No1のやりかたは 5以上の数nが含まれているとn<2x(n-2)だから nを2とn-2に置き換えたほうが積が大きくなるので 積が最大の時5以上の数は含まれない 1が含まれているとすると 1をやめて1以外の数に足し込めばそのほうが積が大きいので 積が最大の時1は含まれない 従って数は 2,3,4 から構成される 2と4がともに存在すると2+4=6=3+3,2x4=8<9=3x3だから 2と4を3二つで置き換えたほうが積が大きいので 2と4はともには存在しないときに積が最大になる 3と4がともの存在する時には3+4=7=3+2+2,3x4=12=2x2x3だから 3と4を2二つと3に置き換えても積が最大でなくなることはない 従って 2,3 だけで構成される時に積が最大になる 2が3個含まれていると2+2+2=6=3+3,2x2x2=8<9=3x3 だから積が最大になる時には2は3個以上含まれない よって2の数は0個、1個、2個のいずれかである 1976=3x658+2 なので2は0個でも2個でも矛盾するので 2の数は1個 結局最大値は 3^658x2=176528813092650631321824697527678863603414507360733532172646534742374472004561447647833551576599071841268147340684692909561979543969046876247215728742219795875277856143555895806750102055076974383708360617266962123284615873951950033196388833843896325045289546019012398784375461116652095995292235273337590912307103378
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- info22_
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#2です。 A#2でx_1,x_2, … ,x_n（全て正整数)の条件を「全て正の実数」とすると 相加平均と相乗平均の関係から (x_1*x_2* … *x_n)^(1/n)≦(x_1+x_2+ … +x_n)/n=1976/n x_1*x_2* … *x_n≦(1976/n)^n 等号はx_1=x_2= … =x_n=1976/nの時成立となります。 このとき最大値はf(n)=(1976/n)^nとなりますが、 この最大値はnの関数ですからnについて更にf(n)の最大値を考えると g(n)=logf(n)=nlog(1976/n) nを取敢えず連続な実数と考えて g'(n)=log(1976/(ne)) g(n)の増減を調べるとg'(n)=0,すなわち n=1976/e(=726.9…)でg(n)は最大値を取る。 このときf(n)も最大値をとる。 1976/n=e≒2,718なのでx_1=x_2= … =x_n=2.718…と出来ればいい（このとき(1976/n)^nは最大）が、x_1,x_2, … ,x_n は正の整数なので、x_1,x_2, … ,x_nは 2 と 3 の組合わせとなる（平均が2.718…に近いことから2より3の個数の方が多い）。2だけだと1976/2=988個,3だけだと1976/3≒658.7個となるがこの間の2と3の個数の組み合わせになる。3の個数の方が多いと考えられるので3の方が多い組合わせから少ない組合わせの方に調べていくことにする。 3を658個とすると 1976-3*658=2で残りは2が1個となります。 この時（n=658+1=659) (x_1*x_2* …*x_658*x_659)=(3^658)*2…(A) 3の個数を１つ減らし、657個とすると 1976-3*657=5となって残りを2で表せないので駄目。 3の個数を 2つ減らし、656個とすると 1976-3*656=8=2*4となって残りは2が4個となります。 この時 （n=656+4=670) (x_1*x_2* …*x_658*x_659)=(3^656)*(2^4) (A)と比較すると3が2個減り、2が3個増えるので最大値は8/9倍され減少します。 更に3の個数を2減らし2の個数を3個増やすたびに積の最大値は8/9倍され減少して行きます。したがって,最初の3の個数が658個,2の個数が1この時、積の最大値は (3^658)*(2^1)=2*3^658 =176 528 813 092 650 631 321 824 697 527 678 863 603 414 507 360 733 532 172 646 534 742 374 472 004 561 447 647 833 551 576 599 071 841 268 147 340 684 692 909 561 979 543 969 046 876 247 215 728 742 219 795 875 277 856 143 555 895 806 750 102 055 076 974 383 708 360 617 266 962 123 284 615 873 951 950 033 196 388 833 843 896 325 045 289 546 019 012 398 784 375 461 116 652 095 995 292 235 273 337 590 912 307 103 378 となります。 他の方と同じ値だと思います。 A#2はnについて最大化しておりませんでしたので差し替えをお願いします（一部削除訂正含む）。
- reiman
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不要な場合分けが有ったのでその部分を除去 数の組Nにおいて積が最大になったとする 5以上の数nがNに含まれているとするとn<2x(n-2)だから nを2とn-2に置き換えたほうが積が大きくなるので 5以上の数はNに含まれない 1がNに含まれているとすると1をやめて1以外の数に足し込んだ方が積が大きいので 1はNに含まれない 4がNに含まれるとすると4を2二個で置き換えることができるので Nは 2,3 だけによって構成されるとしてよい Nに2が3個以上含まれているとすると 2+2+2=6=3+3,2x2x2=8<9=3x3 であるから2三個を3二個で置き換えたほうが積が大きいので 2は3個以上含まれない よってNに含まれる2の数は0個、1個、2個のいずれかである 1976=3x658+2 なのでNに含まれる2の個数は0でも2でも矛盾するので Nに含まれる2の個数は1 結局最大値は3^658x2
- momordica
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#1です > よろしければ例を１つお教えいただけますでしょうか？ 意味が分かりにくかったですか? では、例として「2を3個以上含むもの」についてだけ。 2を3つ以上含む(n+3)個の整数の組 (a1, a2, …, an, 2, 2, 2)が a1+a2+…+an+2+2+2=1976 を満たしているとします。 これらの積は a1*a2*…*an*8 ですよね。 ここで、3つの「2」を2つの「3」に入れ替えた組 (a1, a2, …, an, 3, 3)を考えると、 a1+a2+…+an+3+3=1976 となるので、和は元の組と同じですが、 a1*a2*…*an*9 となり、積は元の組より大きくなります。 したがって、元の組 (a1, a2, …, an, 2, 2, 2)は、積を最大にする組ではないと言えます。 先の回答で挙げた他の4つの条件についても同様に、整数の組の一部だけを 入れ替えて積がもとより大きくなるようにできることが示せるので、やってみてください。 和が1976になる整数の組の個数は有限であり、その中に必ず積が最大になるものが 存在しますから、「最大でないもの」をすべて除けば、残ったものが最大となるものである と言えます。 先の回答では条件を満たす組が2通りと書きましたが、計算ミスでした。 1通りです。すみません。 なお、上記の説明でお分かりかと思いますが、これらの条件は、1976という数の 性質には全く依存しておりません。 したがって、別に1976でなくても、2以上の自然数であればどんな数でも、 先に挙げた5つの条件を満たさない組が積を最大にする整数の組になります。 そのような条件を満たす組は必ず1つまたは2つで、2つある場合は両者の組の 整数の積は同じになります。
- reiman
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No1のやりかたは 5が含まれていると5=2+3,5<6=2x3だから 5を2と3に置き換えたほうが積が大きくなるので 積が最大の時5は含まれない 1が含まれているとすると 1をやめて1以外の数に足し込めばそのほうが積が大きいので 積が最大の時1は含まれない 従って数は 2,3,4 から構成される 2と4がともに存在すると2+4=6=3+3,2x4=8<9=3x3だから 2と4を3二つで置き換えたほうが積が大きいので 2と4はともには存在しないときに積が最大になる 3と4がともの存在する時には3+4=7=3+2+2,3x4=12=2x2x3だから 3と4を2二つと3に置き換えても積が最大でなくなることはない 従って 2,3 だけで構成される時に積が最大になる 2が3個含まれていると2+2+2=6=3+3,2x2x2=8<9=3x3 だから積が最大になる時には2は3個以上含まれない よって2の数は0個、1個、2個のいずれかである 1976=3x658+2 なので2は0個でも2個でも矛盾するので 2の数は1個 結局最大値は 3^658x2=176528813092650631321824697527678863603414507360733532172646534742374472004561447647833551576599071841268147340684692909561979543969046876247215728742219795875277856143555895806750102055076974383708360617266962123284615873951950033196388833843896325045289546019012398784375461116652095995292235273337590912307103378
- info22_
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正の整数をx_1,x_2,x_3,…,x_nとおくと x_1+x_2+ … +x_n=1976 (2≦n≦1976)…(◆） 相加平均、相乗平均の関係から (x_1x_2 …x_n)^(1/n)≦(x_1+x_2+…+x_n)/n=1976/n x_1x_2…x_n≦(1976/n)^n 等号はx_1=x_2=…=x_n=1976/nのとき成立。 1976を素因数分解すると 1976=2*2*2*13*19 なので 「x_1=x_2=…=x_n=1976/n」が整数の時、すなわち n=2,4,8,13,19,26(=2*13),38(=2*19),52(=4*13),76(=4*19),104(=8*13),152(=8*19), 247(=13*19),494(=2*13*19),988(=4*13*19),1976…(☆) の時は等号が成立し、最大値は(1976/n)^nとなる。 n（2≦n≦1976）が(☆)以外の正整数のx_1,x_2,…,x_nは等号条件の1976/n(整数とならない)の値をとることが出来ないので等号条件が成立しない。そこで、m=[1976/n]…(●)またはm+1=[1976/n]+1の値（[]はガウス記号）のいずれかを「(◆)の条件を満たす」ように、 x_i（i=1,2,…,n)に与えた時の「x_1*x_2*…*x_n」を計算し最大値のものを求めれば良い。 つまり, m=[1976/n]…(●)として nが(☆)以外の偶数の時、x_i（i=1,2,…,n)の半数がm,残りの半数がm+1の時 最大値は{m(m+1)}^(n/2となる。 nが(☆)以外の奇数の時、x_i（i=1,2,…,n)の半数がm,残りの半数がm+1の時 最大値は (m+1)[{m(m+1)}^((n-1)/2]となる。 [確認] 以上ですが、合っているかは、ご自分で確認して下さい。 確認はnに各場合について、具体的な正整数値（n=3,4,5など）を与えて確認すると言いかと思います。 なお、数学オリンピックの問題のQAサイトは、他の方にお任せします。あるいは自身で検索して探して見てください。公開されていれば、比較的簡単に見つかるかと思いますが…。
- momordica
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要するに、1976をいくつかの整数の和に分解して、それらの積が最大になるように すればいいわけですよね。 和が1976になる整数の組のうち、それらの整数の中に ・5以上の数を含むもの ・1を含むもの ・4を2個以上含むもの ・2を3個以上含むもの ・4と2を両方含むもの については、和が同じで積がもっと大きくなる別の整数の組に分け直すことができます。 そうできることはご自分で確認してみてください。 したがって、積が最大になるのは、以上5つの条件のどれにも当てはまらない場合 ということになり、考えられる整数の組は2通りになります。 最終的な答はご自分でどうぞ。
補足
ありがとうございます。 「和が同じで積がもっと大きくなる別の整数の組に分け直すことができます」とはどういうことでしょうか？ よろしければ例を１つお教えいただけますでしょうか？ よろしくお願い申し上げます。