円：ｘ＾２＋ｙ＾２＝１と線：ｙ＝３ｘ－３の接点の求め方

質問

円：ｘ＾２＋ｙ＾２＝１と線：ｙ＝３ｘ－３の接点の求め方

数学の参考書に　

ｘ＾２＋ｙ＾２＝１とｙ＝３ｘ－３の接点は
（ｘ，ｙ）＝（１，０），（４／５，－３／５）

とありました。

（１，０）は、わかるんですが、ｘ５分の４，ｙマイナス５分の３がどうすれば求められるか分かりません。
教えてください。お願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

>ｘ＾２＋ｙ＾２＝１…(1)とｙ＝３ｘ－３…(2)の接点は
>（ｘ，ｙ）＝（１，０），（４／５，－３／５）

「接点」は「交点」の間違いです。
グラフを描けば分かると思いますが、(1),(2)は2点で交わります。

(1),(2)を連立方程式として解けば2交点が求まります。
(2)を(1)に代入すると
x^2+9(x-1)^2=1
括弧をはずし式を整理すると
10x^2-18x+8=0
2で割ると
5x^2-9x+4=0
(5x-4)(x-1)=0
x=1,4/5

x=1のとき　(2)から　y=0
x=4/5のとき　(2)から y=3{(4/5)-1}=-3/5

連立方程式の解の組(x,y)=(1.0),(4/5,-3/5)が(1),(2)の交点の座標になるから
2交点の座標は　(1,0)と(4/5,-3/5)　となる。

お礼

5x^2-9x+4=0
を見たときに、因数分解したかったんですが、ｘ＾２に係数がついてて難しかったんです。
おかげさまで納得することができました。

わざわざありがとうございました。

回答No.2

砲術長（@houjutucho）

２次方程式の解の公式を習っていれば
比較的楽に解けると思います。
ただこう言ってしまうと、身も蓋も無いので
２次方程式の解の公式を使って、解いてみましょう。
とある２次方程式
ｙ＝ａｘ＾２+ｂｘ+ｃ
解の求め方は、次の式で導かれます。
ｘ＝｛-ｂ±√ｂ＾２-４ａｃ｝÷２ａ(本当は分数にしたいのですが、小生の力では無理なのでこのままです)
また今回の与式
ｘ＾２+ｙ＾２=１………(1)
ｙ=３ｘ-３………(2)
この二つの式を使った２元２次方程式から、１元２次方程式に変形します。
以下手順
１.(1)の式のｙに(2)の式を代入→ｘ＾２+(３ｘ-３)＾２=１
２.(３ｘ-３)＾２の部分を展開→ｘ＾２+９ｘ＾２-１８ｘ+９＝１
３.左辺を整理→１０ｘ＾２-１８ｘ+９＝１
４.右辺の１を移項→１０ｘ＾２-１８ｘ+８=０(コレでａｘ＾２+ｂｘ+ｃの形に変形が出来ました)
で先程の解の公式にそれぞれを代入(以降は解の公式を使います)
５.｛-(-１８)±√(-１８)＾２-４(１０*８)｝÷２*１０
６.｛１８±√３２４-３２０｝÷２０
７.｛１８±√４｝÷２０
８.｛１６・２０｝÷２０
９.１６/２０＝４/５ ・ ２０/２０＝１
コレでｘの値が（１・４/５）だと判明しました。
あとはこの値を(2)の式に代入すれば
（ｘ，ｙ）＝（１，０），（４／５，－３／５）
の値が出ます。

お礼

自分も解の公式を頭の中に浮かべてやろうとしたんですが、混乱してダメでした。
ご回答を拝見し、なるほどと関心いたしました。

ご丁寧にありがとうございました。

回答No.1

tkitamu

解法はいろいろあると思いますが、
直線の式y=を2乗し、円の方程式のy^2の部分に代入して、整理するとxの２次式になりますよね？そのxの２次式は与えられた円と直線の交点のx座標を表す式になっています。
ですからそのxの２次式を解いて（解の公式）得られる、1と4/5が交点のx座標です。
得られたx座標を直線の式（円の式でも可）に代入すればy座標が得られます。

２次関数と直線の交点を求めるときも同様に求めますよね？それと同じです。

円と直線を実際に書いてみると分かりやすいと思います。
余談ですが、円の方程式を見たとき、その円の図を書けるようになる事は大事なことです。

お礼

やっぱりグラフを描けるようにならないといけないんですね。
わかりやすい説明ありがとうございました。