1個の線を接点として２点を通る円の中心座標

質問

1個の線を接点として２点を通る円の中心座標の求め方と計算式が、分かりません。例題..Y軸に対して垂直なA線 - X50.0。 通過点B - X23.559 Y44.479 通過点C - X34.093 Y-26.937。この例題の場合は、円が２個、作図できます。中心座標を求めるための数学の式とできたらエクセルの式も、どなたか教えてください。お願いします。

回答No.2

gohtraw

（ｘ－ｐ）＾２＋（ｙ－ｑ）＾２＝（ｘ－ｒ）＾２＋（ｙ－ｓ）＾２ より
（ｘ－ｐ）＾２－（ｘ－ｒ）＾２＝（ｙ－ｓ）＾２－（ｙ－ｑ）＾２
（（ｘ－ｐ）＋（ｘ－ｒ））（（ｘ－ｐ）－（ｘ－ｒ））＝（（ｙ－ｓ）＋（ｙ－ｑ））（（ｙ－ｓ）－（ｙ－ｑ））
（２ｘ－ｐ－ｒ）（ｒ－ｐ）＝（２ｙ－ｑ－ｓ）（ｑ－ｓ）
２ｙ－ｑ－ｓ＝（２ｘ－ｐ－ｒ）（ｒ－ｐ）／（ｑ－ｓ）
２ｙ＝（２ｘ－ｐ－ｒ）（ｒ－ｐ）／（ｑ－ｓ）＋ｑ＋ｓ　・・・（あ）

一方（ｘ－ｐ）＾２＋（ｙ－ｑ）＾２＝（ａ－ｙ）＾２　より
（ｘ－ｐ）＾２＋（ｙ－ｑ）＾２－（ａ－ｙ）＾２＝０
（ｘ－ｐ）＾２＋（（ｙ－ｑ）＋（ａ－ｙ））（（ｙ－ｑ）－（ａ－ｙ））＝０
（ｘ－ｐ）＾２＋（ａ－ｑ）（２ｙ－ａ－ｑ）＝０
これに（あ）を代入して
（ｘ－ｐ）＾２＋（ａ－ｑ）（（２ｘ－ｐ－ｒ）（ｒ－ｐ）／（ｑ－ｓ）＋ｓ－ａ）＝０
これを展開すると
ｘ＾２＋２ｘ（－ｐ＋（ａ－ｑ）（ｒ－ｐ）／（ｑ－ｓ））＋ｐ＾２－（ａ－ｑ）（ｐ＋ｒ）（ｒ－ｐ）／（ｑ－ｓ）＋ｓ－ａ＝０　・・・（い）
というｘの二次方程式になるのであとは解の公式を使えば宜しいかと。計算が面倒くさそうですけど、ａ、ｐ、ｑ、ｒ、ｓは既知の数値なのでこれらを（い）に代入してしまえば文字はｘだけになります。

お礼

早速、No.2の回答をいただいたのにお礼が遅くなり大変申し訳ありませんでした。小生の方は、年甲斐もなく２週続けて夜勤業務をしたら体調を崩してしまい、お礼を出せずじまいでした。重ね重ねお詫びいたします。何卒、ご了承下さい。(あ)の式までは、私でも理解できました。ですが、次の式、
（ｘ－ｐ）＾２＋（ｙ－ｑ）＾２＝（ａ－ｙ）＾２....
この式が、私では理解できず、困っています。今回の例題の場合で考えると
（ｘ－ｐ）＾２＋（ｙ－ｑ）＾２＝（ａ－x）＾２
これなら私にでも理解できますので、この式で展開式を考えていますが、学生時代は、数学は得意でしたが二次方程式は会社勤めをしてから扱うことがなかったので、思うようにいきません。私でも理解できるこの式で,
（ｘ－ｐ）＾２＋（ｙ－ｑ）＾２＝（ａ－ｘ）＾２
　この式で以降の展開式を再度、考案していただけたら大変、助かります。よろしくお願いします。

回答No.1

gohtraw

通過する二点をB（ｐ、ｑ）、C(ｒ、ｓ）とし、求める中心をO（ｘ、ｙ）とすると
OB＝OC　なので
（ｘ－ｐ）＾２＋（ｙ－ｑ）＾２＝（ｘ－ｒ）＾２＋（ｙ－ｓ）＾２
これはｘとｙについてそれぞれ一次の式になります。　・・・（１）
また、直線Aの式をｙ＝ａとすると、Ａと求める中心の距離、つまり円の半径は｜ａ－ｙ｜なので
（ｘ－ｐ）＾２＋（ｙ－ｑ）＾２＝（ａ－ｙ）＾２　・・・（２）
（１）をｙ（またはｘ）について解き、それを（２）に代入すればＯの座標が判ります。

お礼

早速、回答をいただき有難うございました。すごく参考になりましたが、申し訳ありませんが、私の頭では、(1)の一次の式を解くことも、(2)の代入式も解くこともできませんでした。また、例題の場合ですと２個の円が作図できますので、２種類とも、例題の数値を使用して、(1)と(2)の式の解き方を具体的に順を追って、教えていただけると、大変助かります。お手数をおかけしますが、できたらお願いします。