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y = (1 -x^2)/2xは双曲線？
y = (1 -x^2)/2xがなぜ、双曲線を表すと判断できるのですか？ x^2/a^2-y^2/b^2=±1が双曲線の式ですが、y = (1 -x^2)/2xは、x^2/a^2-y^2b^2=±1に変形できません。それとも、グラフを描いてみないと、式変形や、形だけでは、判断できないのでしょうか？
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簡単な式変形だけで、求める形に式変形できますよ。 使うのは平方完成だけです。 まず分母を払って、式変形。 x^2+2xy=1 平方完成して、 (x+y)^2 - y^2 = 1 この形でもう、双曲線だと分かりますが、この形をより理解するために、 X=x+y, Y=yとおくと、 X^2-Y^2=1 を得ます。
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- info222_
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y = (1 -x^2)/(2x) ...(1) ⇔ x^2+2xy=1 ...(2) x→+0のときy→+∞ x→-０のときy→-∞ x=0 ...(3) は漸近線（y軸、傾き角α=π/2）。 x>>1のときy→-(1/2)x x<<-1のときy→-(1/2)x y=-(1/2)x ...(4) は漸近線。 これは傾きtanθ=-1/2(θ=-arctan(1/2))の直線。 直線(3),(4)の交点(0,0)で原点Oに一致。 直線(3),(4)の成す角の垂直２等分線（原点Oを通る直交する２本の直線）の傾きtanα、tanβ (0<α<π/2<β<π)は α=(π/2-arctan(1/2))/2 ...(5) tanα=((√5)-1)/2 β=α+π/2, tanβ=-((√5)+1)/2 ...(6) (2)を原点を中心に時計まわりに角αだけ回転してやると双曲線の標準形 x^2/a^2-y^2/b^2=1 ただし, a^2=((√5)-1)/2, b^2=((√5)+1)/2 ...(7) が得られます。 また, (2)を原点Oを中心として反時計回りに角(π/2-α)だけ回転してやると双曲線の標準形 x^2/c^2-y^2/d^2=-1 ただし, c^2=((√5)+1)/2, d^2=((√5)-1)/2 ...(8) が得られます。 なお、(7)を角π/2(=90°)半時計まわりに回転すると(8)の双曲線になります。
お礼
回転させる手法はまだ未修なので、回答を参考にして、これから勉強したいと思います。ありがとうございました。
- kanemoto_s
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#2です。大事なところの回答をしてませんでしたね。 >x^2/a^2-y^2b^2=±1に変形できません。 「2次曲線の標準化」という作業をすれば変形できます。 要は回転させた後に平行移動します。 ただし、この問題では平行移動は不要です。 「2次曲線の標準化」はWebを検索すれば出てくると思いますが、以下が参考になると思います。 http://members.jcom.home.ne.jp/dslender/math/2jibunrui.pdf ざっと読んでもらって、定理4-1の下ところで、 元の式が x^2+2xy-1=0 ですので、 固有値を求める式は k^2-k-1=0 になり、 k1=(1+√5)/2 k2=(1-√5)/2 が得られると思います。 ちなみに正規化した固有ベクトルの一つは (x1)=([{(√5)+1}/2]/[√{(5-√5)/10}]) (y1) (1/[√{(5-√5)/10} ) になると思いますが、ここでは固有ベクトルや回転角は使いません。 角度θ回転するときのcosθ=x1 sinθ=y1となります。 ちなみに、グラフを書けばx=0とy=-(1/2)xの漸近線を得ると思いますので、そこからθの数値を求めることもできると思います。（関数電卓機能を使えば、間違ってないかチェックするのに便利です。） リンクの説明に従って、上記の適当なθで回転させると、 k1Ｘ^2+k2Y^2-1=0 を得ますので、 a^2=1/k1 b^2=-1/k2 となります。 ＃固有値と固有ベクトルの問題なんて大学で20年前に勉強して以来出てきたことなんてないですけどね。 #最近ではPC等で勝手にやってくれるようにソフトウェアが組んであるので、使うことがないんですね。。。
お礼
ご紹介頂いたページ読みました。大変わかりやすかったです。 でも、知らないことがたくさんあったので、これから勉強していきたいです。 高校数学の知識しかない私には、新しい発見がたくさんありました。 本当にありがとうございました。 なお、司法試験予備試験の問題は、法務省のホームページで公開しています。http://www.moj.go.jp/content/000123108.pdf
- nobuyuki0505
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No.3です。 No.4ですこし間違えたので、訂正します。 (0,1),(0,-1)があたかもX,Yの頂点であるかのように書いてしまいましたが、 これは頂点でもなんでもありませんね(汗) 頂点は(1,0)、(-1,0)だけですね。 以上です。
お礼
訂正ありがとうございます。 おかげ様で理解出来ました。 重ねてお礼申し上げます。
- nobuyuki0505
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No.3です。補足質問に対してお答えします。 質問内容が、 (1)X^2-Y^2=1 が双曲線であることは認める。 (2)その上で、その図形をX=x+y, Y=yによる変換で変換したとき、 その変換後の図形が本当に双曲線であるのかどうか？ という内容だとして、それに対してお答えします。 まず、X=x+y, Y=yなる変換は一次変換と呼ばれる変換であり、 ２次以上の項を含まない、もっとも簡単な変換の一つです。 一次変換の特徴として、「図形の構造を大きく変えない」という特徴があります。 楕円を楕円に、双曲線を双曲線に、（円は一般に楕円と考える）といった感じです。 （なお、変換は正確にはx=X-Y, y=Yと表されるべきである。） 今回のx=X-Y, y=Yなる変換は、具体的にどのような変換かといえば、 (a) まず、x軸方向に関しては拡大も縮小も回転もしない変換である。 (b) y軸方向は、まずそれを45度正の向きに回転し、その後その方向に√2倍に拡大する。 といった変換です。 具体的に述べれば、X^2-Y^2=1の頂点(±1,0)はx,yの双曲線でも頂点である。 ほかの頂点(0,1),(0,-1)はそれぞれ(-1, 1),(1,-1)に移され、これがx,yでの頂点となる。 焦点はX,Yでは(±√2, 0)で、これはx,yでも焦点である。 焦点の中点が中心なので、中心はどちらも(0,0)である。 なお、この図形は 「焦点からの距離の差が2a」 となる性質を満たしていない。 この性質を満たす双曲線は、向かい合う頂点を結んだ２本の直線が直交する場合のみの性質であるからである。 つまり、この双曲線は、高校数学の教科書の双曲線の定義では双曲線とはいえない。 いわば、広義の双曲線である。 よって、このタイプの双曲線は高校生が習う「以上」のものである。 ところで、これは大学の問題等で出てきた問題ですか？ 以上の内容は、旧課程の数学Cの「行列」、もしくは大学数学の「線形代数」の 知識があれば、より理解できるものと思います。 なお、これは補足ですが、上の考察よりこの双曲線は 回転変換のみでは、x^2/a^2-y^2/b^2=±1なる形には持って行けないことが分かります。 より複雑な変換を必要とします。
お礼
詳説ありがとうございました。 本問は、平成26年度司法試験予備試験の問題です。
- kanemoto_s
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>式変形や、形だけでは、判断できないのでしょうか？ 二次曲線の性質 http://fnorio.com/0069quadratic_curve1/quadratic_curve1.htm 上記から抜粋 Ax^2＋2Hxy＋By^2＋2Gx＋2Fy＋C＝0 で表される曲線を二次曲線という。 楕円: AB－H^2＞0 双曲線: AB－H^2＜0 放物線: AB－H^2＝0 x^2+2xy-1=0 に変形すれば判別可能です。
お礼
双曲線をAx2＋2Hxy＋By2＋2Gx＋2Fy＋C＝0で表せることを知りませんでした。 教えていただきありがとうございました。
y=(1-x^2)/(2x) ⇔ x^2+2xy=1 ... (*) このグラフを原点Ｏに関しφだけ回転してみます。 点(x, y) --> (X, Y) になるものとすると、 X=x*cos(φ) - y*sin(φ), Y=x*sin(φ)+y*cos(φ) ですから、 x=X*cos(-φ) - Y*sin(-φ), y=X*sin(-φ)+Y*cos(-φ) なる関係があります。これを(*)に代入し、(xy) の項がなくなるようにφをえらべば、 X^2/a^2 - Y^2/b^2=1 なる標準形になります。 ---------------------------- ※a^2=(√5 - 1)/2=0.61803398, b^2=(12√5+10)/31=1.188155346. となります。(計算ミスがあるかもしれません)
お礼
回転させるという方法もあるのですね。 全く思いつきませんでした。 ありがとうございました。
お礼
回答ありがとうございます。 変形のみで双曲線の式を得ることができることはわかりました。 ただ、(x+y)^2 - y^2 = 1 の段階で、なぜ、双曲線だと判断できるのですか？ ご多忙の中、恐縮ですが、ご教示ください。