規則に従っていそうで従っていない数列

質問

規則に従っていそうで従っていない数列
高校である数列の一般項を求めろって問題が出されまして
n=1のとき、2のとき、3のときと出していくと
だいたい一般項が分かってきますよね
じゃあ一般項はこれだ　と弟が答案を出したんですが
これだけでは当然減点、もしくは不正解です（今回減点だけでしたが
数学的帰納法で本当にそれが成り立つことを示さなければいけないです
これを納得させるために何か例題を出したいのですが

ある程度値を入れてみて一般項はこれだ　と出そうだが
違うある値を入れてみたら一般項に従っていない

こうなるような数列ありませんか？

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

単純な例だと、
an = (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)
であれば、

ａ１　＝　０
ａ２　＝　０
ａ３　＝　０
ａ４　＝　０
ａ５　＝　０

ですが、
ａ６以降には０は１回も出てきません。

an = (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)+n
であれば、
a1=1
a2=2
a3=3
a4=4
a5=5
ですが、
a6=6
ではありません。

回答No.3

boiseweb

#2さんの例を1項ずらして a(1)=2, a(n+1)=a(n)+(n+1) とすると（2,4,7,11,...），これは実は「平面上で一般の位置にある n 本の直線が作る領域（分割された平面の切れ端）の数」という幾何的な意味づけを持つ数列になるので，それはそれで重要な数列の例になっています．

これに関連して私が思い出したのは，「平面上で一般の位置にある n 個の円周が作る領域の数」です．これは n=1,2,3 で図を描いてみると 2,4,8 になって 2^n の引っ掛けになりますが n=4 で崩れます．漸化式は b(1)=2, b(n+1)=b(n)+2n で 2,4,8,14,22,...（#2さんの例の2倍）です．

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

n＝ 1, 2, 3ぐらいまでを代入して、
結果（一般項）が期待と違ったものになるということですね。

たとえば
【問題】a(1)＝ 1, a(n+1)＝ a(n)+ nを満たす数列を求めよ。

n＝ 1, 2, 3と代入してみると、a(1)＝ 1, a(2)＝ 2, a(3)＝ 4となります。
一見、倍々になっていますが、a(4)＝ 7となります。

種明かしをすると、f(n)＝ an^2+ bn+ cという関数を考えて
f(1)＝ 1, f(2)＝ 2, f(3)＝ 4となるように a, b, cを求めただけです。＾＾；

しっかり帰納法を教えてあげてください。
（「昨日」法なんていうだじゃれもありかも）