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数列の規則と第513項の値を求めよ
- 数列の規則と第513項の値を求める。
- 数列の規則とはどのようなものかを説明しながら、第513項の値を求める。
- 異なる数列の規則についても説明し、各数列の第513項の値を求める。
- アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）
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うーん。 数字の画数とか、６月のカレンダーとか、 そういう辞書的情報をノーヒントで持ち込むのは、 数学としてはフェアでないし、 バズルとしてもスマートでないなあ。 (3)は、30→24ぐらいはまだしも、2→3だの、 まして7→1は、カレンダー上でも不規則で、 規則美に欠ける。 (2)(4)は、まだ解けていないが、そういうネタの 問題であれば、興味も失せてきた。 降参して退散しよう。誰か後をよろしく。
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- MagicianKuma
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a[n]=(n*(n-1)/2+1) mod 10 でも良いから、a[513]=9 着想もなにも、1,2,4,7,1ときた瞬間に見えたのだよ。ワトソン君。うそです。 正直言うと、一桁の数値ばかりで9もあるから、剰余系かなという当てずっぽうです。
お礼
そうですね。 ただ、mod 10となる理由にはなっていません。 したがって、導き方が少しNGです。 20個ずつ周期的であり、10個目と11個目を境に折り返した形になっています。 剰余系の特徴です。 a[1]=1,a[n+1]≡a[n]+n mod 10 を仮定したなら、a[10]=6であることがわかります。 このとき、 a[1]=6とした場合のa[2],a[3],a[4],…は、 a[1]=1とした場合のa[9],a[8],a[7],…に対応します。 (数列の左から右に進む場合、-n≡10-n mod10ごとに変化するためです。n=9ならn=10のときから１大きくなり、n=8ならn=9のときから２大きくなる。…以下略) また、 a[1]=1とした場合のa[11],a[12],a[13],a[14],…が、 a[10],a[9],a[8],a[7],…と同じになることからも対称性が確かめられます。 また、Σ_i=1→10 (i) ≡5 mod10、Σ_i=1→20 (i) ≡0 mod10 となることから周期20の半分の10を法とするのは妥当、ということになります。 (※a[1]～a[10]でa[1]=1,a[n+1]≡a[n]+n mod 10 の仮定が成り立つことは確認しておく必要があります) まとめますと、対称性と周期に着眼していただきたかったですね。
補足
すみません、記述ミスです。 >数列の左から右に進む場合 数列の右から左に進む場合 の誤りです。
- MagicianKuma
- ベストアンサー率38% (135/348)
(4)a[1]=1, a[n+1]=(a[n]+n) mod 10 でどうだ。
お礼
正解です。が、値がないです。 できれば、着想の過程が欲しかったですね。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
(3) 階差をとって考えると、なんとなく規則性が見えてくるが、 できれば、あと6項先まで提示して欲しかった。 前の項に +7 づつしていって、30 を超えそうになったら +7 の換りに +1 を行い、その後は -7 づつに転ずる。 今度は -7 づつしていって、0 になりそうになったら -7 の換りに +1 を行い、また +7 に転ずる。 …とすればよいのだとは思うのだけれど、 +7 を止める所が 24+7 なのか 23+7 なのか、 -7 を止める所が 8-7 なのか 7-7 なのかは、示された例からは判らない。 とりあえず、23+7 も 7-7 も +1 には換えない という仮定で考えてみると、 62項周期でまた 1+7 から繰り返すことになる。 (実際に延々と漸化してみたら、第63項が 1 だった。) 513=62*8+17 なので、第513項は、第17項と同じ 11。
お礼
ご回答ありがとうございます。 ご指摘のとおり、あと数項必要であったかもしれません。 No.1さんのお礼にもあるとおり、(3)は6月のカレンダーでした。 縦の列ごとに区切り、上から下へ数字を並べ、終わったら右隣の列を今度は下から上へ数字を並べていきます。列が変わるごとに上から下、下から上の並びを交互に繰り返しています。これが60個ごとに周期をなすので、513を60で割った余りの33項目の"15"が答えになります。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
あまり数学でもないけれど、パズルとしてはちょっと面白いね。 (1) { 1,1,1,1,2,2,1,2,1,1, 2,2,2,2,3,3,2,3,2,2, 2,2,2,2,3,3,2,3,2,2, 2,2,2,2,3,3,2,3,2,2, 3,3,3,3,4,4,3,4,3,3, 3,3,3,3,4,4,3,4,3,3, 2,2,2,2,3,3,2,3,2,2, 3,3,3,3,4,4,3,4,3,3, 2,2,2,2,3,3,2,3,2,2, 2,2,2,2,3,3,2,3,2,2, 3,3,3,3,4,4,3,4,3,3,…} なんかオボロゲに周期性があるみたいだ。 10項づつブロックになっていて、ブロック毎に 第1ブロックの各項に 1,1,1,2,2,1,2,1,1,2,… が足してある。この、足してある数の並びが 数列自体の第2項以降と同じになっているように見える。 もし、そうだとすれば、提示してある項から先は 3,3,3,3,4,4,3,4,3,3, 3,3,3,3,4,4,3,4,3,3, 3,3,3,3,4,4,3,4,3,3, 4,4,4,4,5,5,4,5,4,4, 4,4,4,4,5,5,4,5,4,4, 3,3,3,3,4,4,3,4,3,3,… かな。 数列の第52項が 3 だから、 第52ブロックは、第1ブロックを +3 した 4,4,4,4,5,5,4,5,4,4。 第513項は、その 3 項目。つまり、4。
お礼
素晴らしい！4は正解です！ 実は、第n項のnを数字で書いたときの画数を表しています。
補足
パズルのような印象だと思いますが、(4)の問題だけは数学的な規則に則ったモノになっています。 おそらくalice_44様は答えがすぐ出てきてしまうかもしれませんので、 規則まで考えていただきたいです。(ちなみに、漸化式の式１本で表せます。)
お礼
ありがとうございます。
補足
(3)は確かに規則の点から純粋に数学ではないですね。(汚いと表現しておきます) (2)は(1)とほぼ一緒なんで、(1)が解けてしまえば特段解く価値はないです。(16進数で同じことをやっただけ) (4)は暗号チックで数学的なんですが… 規則はわからなくとも、周期がわかるので値はすぐ出てきます。 ただ、規則を数学的にということですね。かなりきれいに書けますし、規則も面白いです。 周期の中で対象的となっていることがミソです。 とりあえず明日の朝辺りまで誰も解答がなければ、お礼のところに解答を載せて締めます。