nn対称行列Aが正値定値であればAの逆行列も正値定値であることの証明を

質問

nn対称行列Aが正値定値であればAの逆行列も正値定値であることの証明を、Aが正値定値であればAの逆行列の標準主座小行列式がすべて＞0であることを行列計算で示す方法を教えてくれませんか？

回答No.1

muturajcp

nn対称行列
Aが正定値
<-def->
Aのすべての固有値が正

nn対称行列Aが正定値であれば
Aは実対称行列だから
適当な直交行列　L　をとって、
行列　H=LAL^{-1} を対角線形にできる。
Hの対角要素(a_{i,i})_{i=1～n}は、
Aの固有値だから(a_{i,i}>0)_{i=1～n}
LA^{-1}L^{-1}=H^{-1}
H^{-1}の対角要素は、
Hの対角要素の逆数
(1/(a_{i,i}))_{i=1～n}で、
A^{-1}の固有値だから
( 1/(a_{i,i}) >0)_{i=1～n}
A^{-1}のすべての固有値は正
A^{-1}は正定値